Презентация "Системы счисления"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

  • Системы счисления

  • История возникновения счета
  • Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная.

  • Система счисления
  • Система счисления – это способ записи чисел по определенным правилам с помощью специальных знаков – цифр.
  • Знаки (символы), используемые в СС для обозначения чисел, называются цифрами.
  • Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, …, 9}
  • Числа:
  • 523
  • 1010011
  • CXL
  • Цифры:
  • 0, 1, 2, 3,…
  • 0,1
  • I, V, X, L, …

  • Типы систем счисления
  • Типы систем счисления
  • Непозиционные
  • Позиционные
    • значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
    • значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа;

  • Позиционные системы счисления
  • Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит.
    • 5 десятков
  • 555
  • Десятичная система
    • 5 сотен
    • 5 единиц

  • Позиционные системы счисления
  • Основание системы счисления (N) - количество цифр (знаков), используемых для представления чисел
    • N=2
  • Основание
  • 0, 1
  • Алфавит
  • Пример
  • 10010112
    • N=4
  • 0, 1, 2, 3
  • 23014
  • Двоичная система счисления
  • Четверичная система счисления

  • Позиционные системы счисления
  • Основание
  • Алфавит
  • Пример
    • N=8
  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
  • 5278
    • N=16
  • 10 11 12 13 14 15
  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F
  • 2F516
  • Восьмеричная система счисления
  • Шестнадцатеричная система счисления

  • Решение задач
  • В каких системах счисления записаны числа?
  • 259310, 1101012, 2078, 5С16
  • 2314 73528 2848 21544
  • 101112 10020112 5D812
  • Найти ошибки в записи чисел в различных С.С.

  • Решение задач
  • Какое минимальное основание должна иметь С.С., если в ней могут быть записаны числа
  • 312? 1012? 6720? 790?
  • 1000? 3440? 2F1? А19?

  • Соответствие между числами в различных системах счисления
  • 10-ая
  • 2-ая
  • 8-ая
  • 16-ая
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 2
  • 10
  • 2
  • 2
  • 3
  • 11
  • 3
  • 3
  • 4
  • 100
  • 4
  • 4
  • 5
  • 101
  • 5
  • 5
  • 6
  • 110
  • 6
  • 6
  • 7
  • 111
  • 7
  • 7
  • 8
  • 1000
  • 10
  • 8
  • 9
  • 1001
  • 11
  • 9
  • 10
  • 1010
  • 12
  • А
  • 11
  • 1011
  • 13
  • В
  • 12
  • 1100
  • 14
  • С
  • 13
  • 1101
  • 15
  • D
  • 14
  • 1110
  • 16
  • E
  • 15
  • 1111
  • 17
  • F
  • 16
  • 10000
  • 20
  • 10
  • 17
  • 10001
  • 21
  • 11

  • Соответствие систем счисления
  • Десятичная
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • Двоичная
  • 0
  • 1
  • 10
  • 11
  • 100
  • 101
  • 110
  • 111
  • Восьмеричная
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • Шестнадцатеричная
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • Десятичная
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • Двоичная
  • 1000
  • 1001
  • 1010
  • 1011
  • 1100
  • 1101
  • 1110
  • 1111
  • 10000
  • Восьмеричная
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 20
  • Шестнадцатеричная
  • 8
  • 9
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
  • 10

  • Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС
  • Правила перевода
  • Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток.
  • Частное опять разделить на 2. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2.
  • Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

  • Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС
  • 1
  • 5710 → Х2
  • 57
  • 2
  • Ответ:
  • 5710 = 1110012
  • Записываем выделенные остатки в обратном порядке
  • 56
  • 28
  • 2
  • 28
  • 0
  • 14
  • 2
  • 14
  • 0
  • 7
  • 2
  • 6
  • 1
  • 3
  • 2
  • 2
  • 1
  • 1

  • Перевод чисел из 10-й СС в 8-ю СС
  • 4
  • 10010 → Х8
  • 100
  • 8
  • Ответ:
  • 10010 = 1448
  • Записываем выделенные остатки в обратном порядке
  • 96
  • 12
  • 8
  • 8
  • 4
  • 1

  • Перевод чисел из 10-й СС в 16-ю СС
  • 15
  • 33510 → Х16
  • 335
  • 16
  • Ответ:
  • 33510 = 14F16
  • Записываем выделенные остатки в обратном порядке
  • 320
  • 20
  • 16
  • 16
  • 4
  • 1
  • F
  • Основание (количество цифр): 16
  • Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
  • A, 10
  • B, 11
  • C, 12
  • D, 13
  • E, 14
  • F 15

  • 185 2
  • 184 24 2
  • 1 24 12 2
  • 0 12 6 2
  • 0 6 3 2
  • 0 2 1
  • 1
  • Решение задач
  • В двоичную систему:
  • 18510 =
  • В четверичную систему:
  • 78 4
  • 76 19 4
  • 2 16 4 4
  • 3 4 1
  • 0
  • 7810 =
  • 101110012
  • 10324

  • Решение задач
  • Восьмеричная система:
  • 7510 =
  • 132 8
  • 128 16 8
  • 4 16 2
  • 0
  • 2048
  • 75 8
  • 72 9 8
  • 3 8 1
  • 1
  • 279 8
  • 272 34 8
  • 7 32 4
  • 2
  • 27910 =
  • 1138
  • 13210 =
  • 4278

  • Решение задач
  • Шестнадцатиричная система:
  • 10710 =
  • 250 16
  • 240 15
  • 10
  • 25010 =
  • 107 16
  • 96 6
  • 11
  • 721 16
  • 720 45 16
  • 1 32 2
  • 13
  • 72110 = 2D116
  • 6В16
  • FA16

  • Перевод в десятичную СС
  • Формы записи числа
    • Развернутая
    • Свернутая
  • =2*100+7*10+5*1 =
  • =2*102+7*101+5*100
  • 27510
  • Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы.

  • Решение задач
  • Запишите числа в развернутой форме:
  • 259310, 1101012, 2078, 5С16
  • Запишите числа в свернутой форме:
  • 1*24+1*23+0*22+1*21+0*20 =
  • 7*102+3*101+1*100 =
  • 3*81+3*80 =
  • 14*161+5*160 =

  • Перевод из 2-ой в 10-ую СС
  • 11012
  • 3 2 1 0
  • =1*23
  • +1*22+0*21+1*2=
  • Основание системы
  • Разряд цифры
  • =8+4+1 = 13
  • Для перехода из двоичной системы счисления в десятичную необходимо двоичное число представить в виде суммы степеней двойки и найти ее десятичное значение.

  • Решение задач
  • 100112
  • 4 3 2 1 0
  • = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
  • = 16 + 2 + 1 = 1910
  • 11011100 = 1*27 + 1*26 + 1*24 +
  • + 1*23 + 1*22 =
  • = 128 + 64 + 16 + 8 + 4 =22010
  • 7 6 5 4 3 2 1 0

  • Перевод из 8-ой в 10-ую СС
  • 718
  • 1 0
  • = 7*81+1*80 = 56+1= 5710
  • 1448
  • 2 1 0
  • = 1·82 + 4·81 + 4·80 =
  • = 64 + 32 + 4 = 10010

  • Перевод из 16-ой в 10-ую СС
  • 7А16
  • 1 0
  • = 7·161 + 10·160 =
  • = 112 + 10 = 12210
  • 2С616
  • 2 1 0
  • = 2·162 + 12·161 + 6·160 =
  • = 512 + 192 + 6 = 71010
  • 1C516
  • 2 1 0
  • = 1·162 + 12·161 + 5·160
  • = 256 + 192 + 5 = 453
  • C
  • 1D416 = 1*162 + 13*161 + 4*160 =
  • = 256 + 208 + 4 = 46810
  • 2 1 0

  • Задание. Перевести в 10-ю СС
  • 1010112 =
  • 1101102 =
  • 758 =
  • 1348 =
  • 7658 =
  • 120314 =
  • 26438 =
  • 1BC16 =
  • 22B16 =
  • A3516 =
  • 2FE116 =

  • Домашнее задание
  • Переведите числа из одной системы счисления в другую.
  • 718 → Х10 → Х2;
  • 5Е16 → Х10 → Х8;
  • 110102 → Х10 → Х16;
  • AF16 → Х10 → Х2

  • Домашнее задание
  • Для каждого из чисел: 12310, 45610 выполнить перевод: 102, 10  8, 10  16.
  • Для каждого из чисел: 1000112, 1010010112, 11100100012 выполнить перевод: 2  10, 2  8, 2  16.
  • Для чисел: 543218, 545258, 7778, 1AB16, A1B16, E2E416, E7E516 выполнить соответствующий перевод: 8  2, 16  2.

  • Перевод дробных чисел в десятичную с.с.
  • 1001,112
  • 3 2 1 0 -1 -2
  • = 1·23 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-2=
  • = 8 + 1 + 0,5 + 0,25 = 9,7510
  • 101,0112
  • 2 1 0 -1 -2 -3
  • = 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3=
  • = 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,37510
  • 1003,2014
  • = 1*43+3*40+2*4-1+1*4-3
  • =64+3+0,5+0,015625=
  • =67,51562510

  • Перевод правильной десятичной дроби из десятичной системы счисления
  • Алгоритм перевода:
  • Последовательно умножать десятичную дробь и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута необходимая точность перевода.
  • Полученные целые части произведений выразить цифрами алфавита новой системы счисления.
  • Записать дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения.

  • Перевод дробных чисел 10  2
  • 0,2510 =
  • ,5
  • 0
  • 1
  • 0,012
  • 0 ,25
  •  2
  •  2
  • ,0
  • 105,2510 = 105 + 0,25 = 1101001,012
  • 10510 = 11010012
  • Перевод дробной части числа из десятичной СС в другую позиционную СС выполняется последовательным умножением на основание системы, пока дробная часть не станет равна 0.

  • Перевод дробных чисел 10  2
  • 25,375 =
  • ,750
  • 0
  • 1
  • 1
  • 11001,0112
  • 0 ,375
  •  2
  •  2
  •  2
  • ,5
  • ,0
  • 0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2
  • Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.
  • Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

  • Перевод дробных чисел 10  4
  • 233,87510 =?4
  • 180,6562510  х4
  • 18010 23104
  • ,625
  • 2
  • 2
  • 2
  • 0 ,65625
  •  4
  •  4
  •  4
  • ,5
  • ,0
  • 180,6562510  2310,2224

  • Арифметические операции
  • <number>
  • сложение
  • вычитание
  • 0+0=0 0+1=1
  • 1+0=1 1+1=102
  • 1 + 1 + 1 = 112
  • 0-0=0 1-1=0
  • 1-0=1 102-1=1
  • перенос
  • заем
  • 1 0 1 1 02
  • + 1 1 1 0 1 12
  • 1
  • 0
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 2
  • 1 0 0 0 1 0 12
  • – 1 1 0 1 12
  • 0
  • 2
  • 1
  • 0 102
  • 1
  • 0
  • 0 1 1 102
  • 0
  • 1
  • 0

  • Арифметические операции
  • <number>
  • <number>
  • 1101012
  • + 101102
  • 101112
  • + 1011102
  • 1110112
  • + 110112
  • 1110112
  • + 100112

  • Арифметические действия
  • 101 1 12
  • – 11012
  • 101 11012
  • – 1101112
  • 10 11012
  • – 110112

  • Арифметические действия
  • сложение
  • 1 5 68
  • + 6 6 28
  • 1
  • 6 + 2 = 8 = 8 + 0
  • 5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
  • 1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
  • 1 в перенос
  • 1 в перенос
  • 08
  • 0
  • 4
  • 1 в перенос

  • Арифметические действия
  • <number>
  • 34728
  • + 45208
  • 8
  • 103214
  • + 20304
  • 4
  • 3 5 38
  • + 7 3 68
  • 1 3 5 38
  • + 7 7 78

  • Арифметические действия
  • вычитание
  • 4 5 68
  • – 2 7 78
  • (6 + 8) – 7 = 7
  • (5 – 1 + 8) – 7 = 5
  • (4 – 1) – 2 = 1
  • заем
  • 78
  • 1
  • 5
  • заем

  • Арифметические действия
  • 7 2 58
  • – 3 7 48
  • 1 1 5 68
  • – 6 6 28

  • Арифметические действия
  • сложение
  • A 5 B16
  • + C 7 E16
  • 1 6 D 916
  • 10 5 11
  • + 12 7 14
  • 11+14=25=16+9
  • 5+7+1=13=D16
  • 10+12=22=16+6
  • 1 в перенос
  • 1 в перенос
  • 13
  • 9
  • 6
  • 1

  • Арифметические действия
  • С В А16
  • + A 5 916
  • 10 В А16
  • + 8 5 616

  • Арифметические действия
  • вычитание
  • С 5 B16
  • – A 7 E16
  • заем
  • 1 D D16
  • 12 5 11
  • 10 7 14
  • (11+16)–14=13=D16
  • (5 – 1)+16 – 7=13=D16
  • (12 – 1) – 10 = 1
  • заем
  • 13
  • 1
  • 13

  • Арифметические действия
  • 10 В А16
  • – A 5 916

  • Арифметические действия
  • умножение
  • 1 0 1 0 12
  •  1 0 12
  • 1 0 1 0 12
  • + 1 0 1 0 12
  • 1 1 0 1 0 0 12
  • 2 0 1 34
  •  2 14
  • 2 0 1 34
  • + 1 0 0 3 24
  • 1 0 2 3 3 34

  • Арифметические действия
  • умножение
  • 7 2 58
  •  1 48
  • 3 5 2 48
  • + 7 2 58
  • 1 2 7 7 48
  • 3 А 216
  •  3 116
  • 3 А 216
  • + А Е 616
  • В 2 0 216