Самостоятельная работа "Поиск выигрышной стратегии"


Вариант 1
1) Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в
точке с координатами (1;2) стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами
(x,y) в одну из трех точек: (x+3;y), (x,y+3) или (x,y+4). Выигрывает тот
игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до начала
координат (0,0) больше 13 единиц. Кто выигрывает игрок, делающий
ход первым, или игрок, делающий ход вторым?
2) Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 3, а во второй – 6 камней. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 2 раза число камней в
какой-то куче, или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает
игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах
становится не менее 24. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих
игроков игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй
ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ
обоснуйте.
3) Дополнительно
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 4 камня, а во второй 5 камней. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 2 раза число камней в какой-то
куче, или увеличивает на 2 число камней в одной из куч. Игрок, после
хода которого общее число камней в двух кучах становится более 22,
проигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким
должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Вариант 2
1) Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в
точке с координатами (1;0) стоит фишка. Игроки ходят по очереди.
Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с
координатами (x,y) в одну из трех точек: (x+4;y), (x,y+4) или (x+4,y+4).
Выигрывает тот игрок, после хода которого расстояние по прямой от
фишки до начала координат (0,0) больше 13 единиц. Кто выигрывает
игрок, делающий ход первым, или игрок, делающий ход вторым?
2) Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 1, а во второй – 4 камня. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в
какой-то куче, или добавляет 3 камня в какую-то кучу. Выигрывает
игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах
становится не менее 22. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих
игроков игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй
ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ
обоснуйте.
3) Дополнительно
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 3 камня, а во второй 5 камней. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 2 раза число камней в какой-то
куче, или увеличивает на 2 число камней в одной из куч. Игрок, после
хода которого общее число камней в двух кучах становится более 17,
проигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким
должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Вариант 3
1) Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в
точке с координатами
(-3;2) стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что
игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трех
точек: (x1;y+3), (x+3,y1) или (x+2,y+2). Выигрывает тот игрок,
после хода которого расстояние по прямой от фишки до начала
координат (0,0) больше 8 единиц. Кто выигрывает игрок, делающий
ход первым, или игрок, делающий ход вторым?
2) Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 2, а во второй 3 камня. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок увеличивает в 2 раза или в 3 раза число
камней в какой-то куче. Выигрывает игрок, после хода которого в
одной из куч становится не менее 20 камней. Кто выигрывает при
безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход,
или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход
выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
3) Дополнительно
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 3 камня, а во второй 4 камня. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то
куче, или увеличивает на 4 число камней в одной из куч. Игрок, после
хода которого общее число камней в двух кучах становится более 26,
проигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким
должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Вариант 4
1) Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в
точке с координатами
(-1;2) стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что
игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из
трех точек: (x1;y+4), (x+3,y1) или (x+2,y+3). Выигрывает тот игрок,
после хода которого расстояние по прямой от фишки до начала
координат (0,0) больше 11 единиц. Кто выигрывает игрок,
делающий ход первым, или игрок, делающий ход вторым?
2) Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 1, а во второй 2 камня. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в
какой-то куче, или добавляет 4 камня в какую-то кучу. Выигрывает
игрок, после хода которого в одной из куч становится не менее 20
камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход?
Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ
обоснуйте.
3) Дополнительно
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 3 камня, а во второй 4 камня. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то
куче, или увеличивает на 4 число камней в одной из куч. Игрок, после
хода которого общее число камней в двух кучах становится более 28,
проигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким
должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Вариант 5
1) Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в
точке с координатами
(3;2) стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что
игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трех
точек: (x+3;y), (x,y+2) или (x,y+4). Выигрывает тот игрок, после хода
которого расстояние по прямой от фишки до начала координат (0,0)
больше 12 единиц. Кто выигрывает игрок, делающий ход первым,
или игрок, делающий ход вторым?
2) Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 2, а во второй 3 камня. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 2 раза число камней в
какой-то куче, или увеличивает на 3 число камней в одной из куч.
Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух
кучах становится не менее 17. Кто выигрывает при безошибочной
игре обоих игроков игрок, делающий первый ход, или игрок,
делающий второй ход? Каким должен быть первый ход
выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
3) Дополнительно
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 4 камня, а во второй 5 камней. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 2 раза число камней в какой-то
куче, или увеличивает на 2 число камней в одной из куч. Игрок, после
хода которого общее число камней в двух кучах становится более 22,
проигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким
должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Вариант 6
1) Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в
точке с координатами
(2;3) стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что
игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трех
точек: (2x;y), (x,y+3) или (x,y+4). Выигрывает тот игрок, после хода
которого расстояние по прямой от фишки до начала координат (0,0)
больше 14 единиц. Кто выигрывает игрок, делающий ход первым,
или игрок, делающий ход вторым?
2) Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 2, во второй 3 камня. У каждого игрока
неограниченное количество камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает число камней в какой-то куче
в 3 раза, или добавляет 3 камня в любую из куч. Выигрывает игрок,
после хода которого общее число камней в двух кучах становится не
менее 33. Кто выигрывает игрок, делающий ход первым, или игрок,
делающий ход вторым?
3) Дополнительно
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 3 камня, а во второй 5 камней. У каждого
игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает в 2 раза число камней в какой-то
куче, или увеличивает на 2 число камней в одной из куч. Игрок, после
хода которого общее число камней в двух кучах становится более 17,
проигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким
должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.