Задачи "Моделирование, как метод познания" 11 класс


Задача
Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2.
Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается. А вместо
него записывается одно из трех чисел: х+3; х+5; и . Выигрывает
игрок, после хода которого на доске оказывается число. Большее 20.
Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.
Задача
Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку.
За один ход разрешается или утроить кол-во фишек в какой-нибудь
горке, или добавить по 3 фишки в каждую из трех горок. Выигрывает
тот игрок после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно
становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто
выигрывает при безошибочной игре обоих игроков начинающий
или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Задача
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости
стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале фишка находится в
точке с координатами (-2;1). Ход состоит в том, что игрок
перемещает фишку из точки с координатами (х;у) в одну из трех
точек (х+4;у); (х;у+3); (х+2;у+2). Выигрывает игрок, после хода
которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами
(0;0) не меньше 9 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре
обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий
второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Дополнительная задача
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой – 4 камня, а во второй 3 камня. У каждого игрока
неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит
в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в любой
куче. Или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок,
после хода которого общее число камней в двух кучах становится не
менее 24 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих
игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй
ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ
обоснуйте.
Задача и её решение
Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2.
Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается. А вместо
него записывается одно из трех чисел: х+3; х+5; и . Выигрывает
игрок, после хода которого на доске оказывается число. Большее 20.
Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков
начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.
Исход
1 ход 1 игрока
1 ход 2 игрока
2 ход 1 игрока
2 ход 2 игрока
2
5
8
11
Умножением
на 2 получаем
выигрыш
13
16
10
13
15
20
10
Такой вариант
рассмотрен
выигрыш
7
10
Такой вариант
рассмотрен
выигрыш
12
15
Данный вариант не
рассматриваем. Так
как это победа
соперника
17
24
14
17
Данный вариант не
рассматриваем. Так
как это победа
соперника
19
28
4
7
10
Данный вариант не
рассматриваем. Так
как это победа
соперника
12
14
9
12
Умножением
на 2 получаем
выигрыш
14
18
8
11
Умножением
на 2 получаем
выигрыш
13
16
ВЫВОД: выигрывает второй игрок после любого хода первого
игрока, если первый ход второго игрока будет 8 или 10 или 9
Задача и её решение
Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку.
За один ход разрешается или утроить кол-во фишек в какой-нибудь
горке, или добавить по 3 фишки в каждую из трех горок. Выигрывает
тот игрок после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно
становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто
выигрывает при безошибочной игре обоих игроков начинающий
или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Исход
1 ход 1 игрока
1 ход 2 игрока
2 ход 1 игрока
3,2,1
9,2,1
27,2,1
Утроив наибольший
результат все
варианты приводят к
выигрышу
9,6,1
9,2,3
12,5,4
3,6,1
9,6,1
Утроив наибольший
результат все
варианты приводят к
выигрышу
3,18,1
3,6,3
?
6,9,4
выигрыш
3,2,3
9,2,3
выигрыш
3,6,3
?
3,2,9
выигрыш
6,5,6
6,5,4
18,5,4
Утроив наибольший
результат все
варианты приводят к
выигрышу
6,15,4
6,5,12
9,8,7
ВЫВОД: первый игрок выиграет на третьем ходу, если его первый
ход будет 9,2,1 или 6,5,4.
Задача и её решение
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости
стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале фишка находится в
точке с координатами (-2;1). Ход состоит в том, что игрок
перемещает фишку из точки с координатами (х;у) в одну из трех
точек (х+4;у); (х;у+3); (х+2;у+2). Выигрывает игрок, после хода
которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами
(0;0) не меньше 9 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре
обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий
второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Исход
1 ход
1 игрока
2 ход
1 игрока
2 ход
2 игрока
-2,1
2,1
10,1
Не рассматривается,
так как приводит к
победе соперника
6,4
8,3
6,4
Приводит к победе
2,7
4,6
8,3
Приводит к победе
4,6
6,5
-2,4
6,4
Приводит к победе
2,7
4,6
2,7
Не рассматривается,
так как приводит к
победе соперника
-2,10
0,9
4,6
Не рассматривается,
так как приводит к
победе соперника
0,9
2,8
0,3
8,3
Приводит к победе
4,6
6,5
4,6
Не рассматривается,
так как приводит к
победе соперника
0,9
2,8
6,5
Приводит к победе
2,8
4,7
ВЫВОД: Выигрывает второй игрок, если первый ход второго игрока
будет (2,4), (4,3), (2,5)