Подготовка к ЕГЭ "Задание 1 "Системы счисления""

Системы счисления Задание 1 (базовый уровень, время – 1 мин)

Владея развитой компьютерной теорией, компьютерные специалисты иногда забывают о той роли, которую сыграли системы счисления в истории компьютеров.

А.П. Стахов

Разработала Фоминова Елена Владимировна, учитель физики и информатики МБОУ СОШ № 23 МО Усть-Лабинский район Краснодарского края

Теория Система счисления – знаковая система, позволяющая по определенным правилам записывать числа при помощи символов некоторого алфавита (цифр).

Система счисления

позиционные

непозиционные

Позиционные СС: количественные значения цифр зависят от их позиций (разрядов) в числе, что позволяет при помощи небольшого набора цифр записывать практически любые по величине числа.

Позиционные системы счисления величина числа зависит от позиции цифры в числе.

55510= 5*102 + 5*101 + 5*100 1112 = 1*22 + 1*21 + 1*20

Алфавит системы счисления множество цифр (знаков), используемых в ней.

Основание системы счисления

это количество знаков, используемых для изображения цифр в данной системе счисления.

Двоичная СС

ОСНОВАНИЕ: 2

АЛФАВИТ: 0 , 1

Числа: 0, 1, 10, 11, 100, 101 и т.д.

Троичная СС

ОСНОВАНИЕ: 3

АЛФАВИТ: 0 , 1, 2

Числа: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 и т.д.

Восьмеричная СС

ОСНОВАНИЕ: 8

АЛФАВИТ: 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20 и т.д

Шестнадцатеричная СС

ОСНОВАНИЕ: 16

АЛФАВИТ: 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F

Числа: 0, 1, 2, …, 7, 8, 9, A, …..F, 10, 11, …19, 1A, 1B, …..1E, 1F, 20 и т.д.

Базис позиционной СС – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по её месту в записи числа, т.е. «вес» каждого разряда.

Пример. Базисы некоторых систем счисления.

Десятичная система: …, 0,001, 0,01, 1, 10, 102, 103, 104, ..., 10n, ...

Двоичная система: …,1/4, 1/2, 1, 2, 22, 23, 24, ..., 2n, ...

Восьмеричная система: …1/64, 1/8, 1, 8, 82, 83, 84, ..., 8n, ...

Базисы приведенных систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2 и 8.

…, P-3 , P-2 , P-1 , 1 , P, P2 , PЗ ,…,Pn , …

Нетрадиционные системы счисления Пример базисов нетрадиционных систем:

• Факториальная система: 1!, 2!, 3!, 4!, …, (n-1)!, n!, …(основана на определении факториала)
• Фибоначчиева система: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …(каждое следующее число равно сумме предыдущих двух).

Нужно знать Свернутая форма числа В общем виде свернутая форма числа A10, где n –количество целых разрядов, m-количество дробных разрядов: А10 =а n-1 a n-2 …a0 , a -1….a-m . Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой. Развернутая форма числа В позиционной системе счисления любое число может быть представлено в виде:

А – само число

q – основание системы счисления

а i – цифры данной системы счисления

n – число разрядов целой части числа

m – число разрядов дробной части числа

Преобразованная запись развернутой формы, при которой за счет использования скобок удается избавиться от возведения основания системы в степени. Преобразованная запись развернутой формы, при которой за счет использования скобок удается избавиться от возведения основания системы в степени.

Форма (схема) Горнера

двоичное	восьмеричное	десятичное	шестнадцатеричное
Форма записи свернутая
101101	12345	1234	F4D9
Форма записи развернутая
125+024+123+122+021+120	184+283+382+481+580	1103+2102+ +3101+4100	F163 +4162+ +D161+9160
Схема Горнера
((((12+0)x2+x x2+1)2+0)2+1	(((18+2)8+3)x x8+4) 8+5	((110+2)x x10+3)10+4	((F16+4)x x16+D)16+9

А10 = 5738,62 А10 = 5738,62 А8 = 7166,3 А16 = А3АF А10 = 2175,83 А5 = 321,43 А16 = Е71С,3В А2 = 10101,101 А10= 7465,762

Задание. Необходимо записать данные числа в развернутой форме

Алгоритм перевода: Алгоритм перевода:

• Представьте число в развернутой форме.
• Найдите сумму ряда.
• Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Перевод происходит с помощью деления данного числа на основание новой системы счисления. Перевод происходит с помощью деления данного числа на основание новой системы счисления.

Схема перевода числа

из десятичной системы счисления

в двоичную

19 2 Делим число на 2 с остатками:

18 9 2 – либо 0;

1 8 4 2 – либо 1.

1 4 2 2 Число в двоичной системе счисления

0 2 1 записывается из остатков от деления,

0 начиная с последнего.

1910 → 2

1910 = 100112.

Перевод происходит с помощью деления данного числа на основание новой системы счисления. Перевод происходит с помощью деления данного числа на основание новой системы счисления.

Схема перевода числа

из десятичной системы счисления

в восьмеричную

219 8 Делим число на 8 с остатками:

216 27 8 от 0 до 7

3 24 3

3 Число в восьмеричной системе счисления

записывается из остатков от деления,

начиная с последнего.

21910 → 8

21910 = 3338.

Перевод происходит с помощью деления данного числа на основание новой системы счисления. Перевод происходит с помощью деления данного числа на основание новой системы счисления.

Схема перевода числа

из десятичной системы счисления

в шестнадцатеричную

525 16 Делим число на 16 с остатками:

512 32 16 от 0 до 15

13 32 2

0 Число в восьмеричной системе счисления

записывается из остатков от деления, начиная с последнего.

Если остаток от деления превышает цифру 9, то полученную цифру заменяем соответствующей буквой.

52510 → 16

52510 = 20D16.

Перевод происходит с помощью триад – «троек чисел». Перевод происходит с помощью триад – «троек чисел».

Схема перевода числа

из двоичной системы счисления

в восьмеричную

101110011112 → 8

101110011112 = 27178

010|111|001|1112 = 27178 Отделяем в числе по три цифры,

начиная с конца.

Если в последней скобке не хватает цифр, дописываем нули.

Значение триад смотрим в соответствующей таблице.

Перевод происходит с помощью тетрад – «четверок чисел». Перевод происходит с помощью тетрад – «четверок чисел».

Схема перевода числа

из двоичной системы счисления

в шестнадцатиричную

101110011112 → 16

101110011112 = 5CF16

0101|1100|11112 = 5CF16 Отделяем в числе по четыре цифры,

начиная с конца.

Если в последней скобке не хватает цифр, дописываем нули.

Значение тетрад смотрим в соответствующей таблице.

Нужно помнить

В двоичной системе:

четные числа, которые делятся на 2, оканчиваются на 0,

числа, которые делятся на 4 (4= 22), оканчиваются на 00,

числа, которые делятся на 8 (8= 23), оканчиваются на 000,

и т.д.,

числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей;

нечетные числа оканчиваются на 1;

если число N принадлежит интервалу 2k-1  N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр,

например, для числа 125:

26 = 64  125 < 128 = 27,

125 = 11111012 (7 цифр)

В двоичной системе:

числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например:

8 = 23 = 10002 , 16 = 24 = 100002, 32 = 25 = 1000002

числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например:

7= 23-1 = 1112, 15 = 24-1 = 11112, 31 = 25-1 = 111112

если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:

15 = 11112, 30 = 111102, 60 = 1111002, 120 = 11110002

Примеры Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 2АС116? Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 2АС116?

Пример 1

Ответ: 6

Решение:

для решения достаточно знать двоичные коды чисел от 1 до 9 и от А до F, поскольку для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему достаточно каждую цифру отдельно записать в виде четверки двоичных чисел(тетрады):

2АС116 = 101010110000012

в этой записи 6 единиц.

Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 345678? Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 345678?

Пример 2

Ответ: 10

Решение:

для решения достаточно знать двоичные коды чисел от 1 до 7, поскольку для перевода восьмеричного числа в двоичную систему достаточно каждую цифру отдельно записать в виде тройки двоичных чисел(триады):

345678 = 111001011101112

в этой записи 10 единиц

Укажите наименьшее число, двоичная запись которого содержит ровно 5 значащих нулей и две единицы. Ответ запишите в десятичной системе счисления. Укажите наименьшее число, двоичная запись которого содержит ровно 5 значащих нулей и две единицы. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Пример 3

Ответ: 65

Решение:

Значащие нули не могут стоят в начале числа, следовательно в начале стоит 1, а наименьшее число предполагает единицу в конце числа:

1 000 001 2 = 26+20=64+1=65

Дано N=101001112, М=А916. Найдите целое значение числа К, которое отвечает условию Дано N=101001112, М=А916. Найдите целое значение числа К, которое отвечает условию N<K<M. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Пример 4

Ответ: 168

Решение:

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

N=101001112 = 27+25+22+21+20=128+32+4+2+1=167

М=А916=А·16+9·160=10·16+9=169

167<K<169,

Следовательно, К=168

Слайд 1 ЕГЭ http://bashgymn.ucoz.ru/muzi/may/a12183fc240047e94e1f82d423bb0dd0.jpg Слайд 1 ЕГЭ http://bashgymn.ucoz.ru/muzi/may/a12183fc240047e94e1f82d423bb0dd0.jpg Слайд 2 https://rostovmama.ru/upload/000/u2/371/fb28decb.png Слайд 3 http://900igr.net/up/datai/140440/0011-007-.jpg Слайд 4 http://www.kab35.ru/wpimages/wpc58224db_06.png Слайд 8 http://kazan.czm.su/sites/default/files/vajno-znat.jpg https://begobike.com/wp-content/uploads/2016/07/Chitaem-pravila-gonol-na-begovelakh-1.jpg Слайд 19 http://til-lit.narod.ru/rekomend_K.jpg Слайд 20,21 ноль http://5dimensions.se/wp-content/uploads/2016/04/red-number-0.jpg Единица http://www.theintentionallife.com/wp-content/uploads/2014/12/1.jpg Слайд 22 http://www.yiliti.com/d/file/20160320/658-151111092Q4M9.jpg http://www.kab35.ru/wpimages/wpc58224db_06.png Слайд 23-26 http://wealthinoptions.com/wp-content/uploads/2014/11/18853285_ml.jpg

Интернет-ресурсы

Крылов С.С. ЕГЭ 2017. Информатика. Тематические тестовые задания. -М.: Издательство «Экзамен», 2017

• Крылов С.С. ЕГЭ 2017. Информатика. Тематические тестовые задания. -М.: Издательство «Экзамен», 2017
• Крылов С.С., Чуркина Т.Е. ЕГЭ 2017. Информатика и ИКТ: типовые экзаменационные варианты: 20 вариантов. –М.: Издательство «Национальное образование», 2017
• Поляков К.И. Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. http://kpolyakov.spb.ru

Список использованной литературы