Презентация "Кодирование вещественных чисел" 10 класс

Кодирование вещественных чисел Составила Соколова Е.В. Учитель информатики МБОУ СОШ № 1 г.Зубцов Тверская обл. Для представления вещественных чисел (конечных и бесконечных десятичных дробей) используют формат с плавающей точкой (запятой). Для представления вещественных чисел (конечных и бесконечных десятичных дробей) используют формат с плавающей точкой (запятой).

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком:

R = m * рn

m – мантисса,

n – порядок,

p – основание системы

Например, число 35,324 можно записать в таком виде: 0.35324х102 Например, число 35,324 можно записать в таком виде: 0.35324х102 Здесь m=0.35324 — мантисса, n=2 — порядок Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная точка в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства: 35,324 = 3,5324*101 = 0,0035324*104 = 3532,4*102 и т.п. Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию: Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию: 0,1p ≤ m < 1p Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. Значит для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 35,324=0.35324 * 102

±

1

б

а

й

т

2

б м

а

й а

т

н

3 т

б

а и

й

т с

с

а

4

б

а

й

т

Машинный

порядок

Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (р=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

Машинный порядок В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 — минус Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы

±

1

б

а

й

т

2

б м

а

й а

т

н

3 т

б

а и

й

т с

с

а

4

б

а

й

т

Что такое машинный порядок? Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка.

В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

Машинный порядок	0	1	2	3	...	64	65	...	125	126	127
Математический порядок	-64	-63	-62	-61	...	0	1	...	61	62	63

Если обозначить машинный порядок Мр, а математический — р, то связь между ними выразится такой формулой:

Мр = р + 64

Итак, машинный порядок смещён относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает Итак, машинный порядок смещён относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает В двоичной системе счисления смещение: Мр2 = р2+100 00002 Теперь мы можем записать внутреннее представление числа 35,324 в форме с плавающей точкой Теперь мы можем записать внутреннее представление числа 35,324 в форме с плавающей точкой 1) Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами 35,324= 100011,0101001011110001102

2) Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

0,100011010100101111000110*10110

Здесь мантисса, основание системы счисления (210=102) и порядок (610=1102)записаны в двоичной системе

3) Вычислим машинный порядок

Мр2 = 110 + 100 0000 = 100 0110

4) Запишем представление числа в ячейке памяти

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

порядок

мантисса

Знак числа

Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера 4 байта (число обычной точности) или 8 байт (число двойной точности). Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера 4 байта (число обычной точности) или 8 байт (число двойной точности). Мы рассмотрели пример представления числа 35,324 обычной точности Для того, чтобы получить внутреннее представление отрицательного числа Для того, чтобы получить внутреннее представление отрицательного числа -35,324, достаточно в полученном выше коде заменить в разряде знака числа 0 на 1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

Задание: Представьте двоичное число -100,12 в четырёхбайтовом формате. Представьте число сначала в форме с плавающей запятой. Решение: -100,12= -0,1001*211 Мантисса -0,1001 Порядок 11 Машинный порядок 11+100 0000=1000011

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Задания для самостоятельного выполнения

• Сравните числа:

а) 318,4785∙109 и 3,184785∙1011

б) 218,4785∙10-3 и 1847,85∙10-4

2. Запишите числа в естественной форме:

а) 0,1100000∙2100

б) 0,1001111∙2111