Контрольная работа "Производная. Первообразная и интеграл" скачать


Контрольная работа "Производная. Первообразная и интеграл"

Контрольная работа по теме:
«Производная. Первообразная и интеграл»
Раздел. Начала математического анализа.
Тема.
Производная.
Первообразная и
интеграл
Знание свойств производной
и умение находить
производную функции
2
К.р.№5(1,2,3)
Умение находить угловой
коэффициент касательной к
графику функции. Знание
формулы углового
коэффициента касательной к
графику функции
2
К.р.№5(3)
Умение находить
критические точки
2
К.р.№5(1,2)
Умение находить промежутки
монотонности
2
К.р.№5(2)
Знание алгоритма
нахождения наибольшего и
наименьшего значений
функции на отрезке. Умение
его применить
2
К.р.№5(2)
Умение находить все
первообразные функции.
Знание свойств
первообразной функции
2
К.р.№5(4,5)
Умение находить абсциссу
точки графика функции.
Знание формулы углового
коэффициента касательной к
графику функции
2
К.р.№5(3)
Умение находить площадь
фигуры через производную.
Знание формулы Ньютона-
Лейбница
2
К.р.№5(4)
Контрольная работа по теме:
«Производная. Первообразная и интеграл»
Вариант № 1
1. Найдите критические (стационарные) точки функции f(x)=2x
3
-9x
2
-
60x+127.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=2x
3
-3x
2
-
12x+24 на отрезке [-2;1].
3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=2x
2
-5x+1, в
точке графика с абсциссой x
0
=2.
4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции f(x)=x
2
+3x и прямыми x=0, x=1.
5. Первообразная функции f(x)=3x
2
+2x при x=1 принимает значение 81.
Найдите ее значение при x=-1.
Контрольная работа по теме:
«Производная. Первообразная и интеграл»
Вариант № 2
1. Найдите критические (стационарные) точки функции f(x)=2x
3
+3x
2
-72x-
213.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x
3
-9x
2
+24x-15
на отрезке [1;3].
3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=3x
2
-4x-2, в
точке графика с абсциссой x
0
=-1.
4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции f(x)=2x
2
+x и прямыми x=0, x=1.
5. Первообразная функции f(x)=4x
3
+2x при x=1 принимает значение 25.
Найдите ее значение при x=2.
Эталоны ответов
Вариант № 1
1. f(x)=2x
3
-9x
2
-60x+127
Решение:
1) f’(x)=6x
2
-18x-60
2) f’(x)=0 => 6x
2
-18x-60=0
x
2
-3x-10=0
По теореме, обратной теореме Виета:
x
1
+x
2
=3
x
1
*x
2
=-10
x
1
=-2, x
2
=5
Ответ: x
1
=-2, x
2
=5
2. y=2x
3
-3x
2
-12x+24, [-2;1]
Решение:
1) y’=6x
2
-6x-12
2) y’=0 => 6x
2
-6x-12=0
x
2
-x-2=0
По теореме, обратной теореме Виета:
x
1
+x
2
=1
x
1
*x
2
=-2
x
1
=-1, x
2
=2
3) Отрезку [-2;1] принадлежит только точка x
1
=-1.
y(-2)=-16-12+24+24=20
y(-1)=-2-3+12+24=31
y(1)=2-3-12+24=11
Ответ: y
наиб
=31 при x=-1, y
наим
=11 при x=1
3. f(x)=2x
2
-5x+1, в точке графика с абсциссой x
0
=2
Решение:
1) f’(x)=4x-5
2) f(2)=8-10+1=-1, f’(2)=8-5=3
3) y=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)
y=-1+3(x-2)
y=3x-7
Ответ: y=3x-7
4. f(x)=x
2
+3x, x=0, x=1
Решение:
6
5
1
6
11
0
2
3
3
1
2
3
3
)3(
1
0
23
1
0
2
xx
dxxxS
Ответ:
6
5
1S
5. f(x)=3x
2
+2x, F(1)=81. F(-1)=?
Решение:
F(x)=x
3
+x
2
+C
F(1)=1+1+C, F(1)=81 => C=79
F(-1)=-1+1+79=79
Ответ: F(-1)=79
Вариант № 2
1. f(x)=2x
3
+3x
2
-72x-213
Решение:
1) f’(x)=6x
2
+6x-72
2) f’(x)=0 => 6x
2
+6x-72=0
x
2
+x-12=0
По теореме, обратной теореме Виета:
x
1
+x
2
=-1
x
1
*x
2
=-12
x
1
=-4, x
2
=3
Ответ: x
1
=-4, x
2
=3
2. y=x
3
-9x
2
+24x-15, [1;3]
Решение:
1) y’=3x
2
-18x+24
2) y’=0 => 3x
2
-18x+24=0
x
2
-6x+8=0
По теореме, обратной теореме Виета:
x
1
+x
2
=6
x
1
*x
2
=8
x
1
=2, x
2
=4
3) Отрезку [1;3] принадлежит точка x
1
=2.
y(1)=1-9+24-15=1
y(2)=8-36+48-15=5
y(3)=27-81+72-15=3
Ответ: y
наиб
=5 при x=2, y
наим
=1 при x=1
3. f(x)=3x
2
-4x-2, в точке графика с абсциссой x
0
=-1
Решение:
1) f’(x)=6x-4
2) f(-1)=3+4-2=5, f’(-1)=-6-4=-10
3) y=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)
y=5-10(x+1)
y=-10x-5
Ответ: y=-10x-5
4. f(x)=2x
2
+x, x=0, x=1
Решение:
6
1
1
6
7
0
2
1
3
2
23
2)2(
1
0
23
1
0
2
xx
dxxxS
Ответ:
6
1
1S
5. f(x)=4x
3
+2x, F(1)=25. F(2)=?
Решение:
F(x)=x
4
+x
2
+C
F(1)=1+1+C, F(1)=25 => C=23
F(2)=16+4+25=45
Ответ: F(2)=45