Презентация "Прямоугольные треугольники при решении задач С4" 11 класс


Подписи к слайдам:
Слайд 1

  • Прямоугольные треугольники
  • при решении задач С4
  • Учитель математики
  • МБОУ башкирская
  • гимназия с.Малояз
  • Исмагилова Л.А.
  • 2012 г.

  • D
  • B
  • A
  • C
  • α
  • α
  • M
  • α + β = 90º
  • β = 90 - α
  • B
  • A
  • C
  • M
  • α
  • α
  • β
  • β
  • α
  • Дано: ∆АВС, АВ=ВС.
  • AD- биссектриса, DM┴AD
  • DM ∩ АС = M
  • Доказать: CD = ½AM
  • Доказательство:
  • Р
  • 1)DP║AB
  • P- cередина AM
  • 2) ∆APD- равнобедренный, AP=PD
  • 5) CD = ½AM
  • 3) ∆PDC- равнобедренный, PD=CD
  • т.к ∆АВС~ ∆PDC по двум углам, A= P= 2α, С-общий , значит AP=PD=PM=СD
  • Задача

  • B
  • A
  • C
  • D
  • a
  • b
  • c
  • I. CD² = BD · AD
  • CA² = AB · BD
  • CB² = AB · BD
  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных исходному.
  • F
  • m
  • E
  • n
  • II. CD = (BC · AC) / AB
  • AC = (n² + m²) / n
  • BC = (n² + m²) / m
  • n
  • m
  • Высота из вершины прямого угла
  • III. В подобных треугольниках АВС,АСD,ВСD имеет место равенство:
  • d²a+d²b=d²c ; (da, db, dc,-сходственные линейные элементы этих треугольников
  • P²∆ABC= P²∆ACD+ P²∆BCD
  • r²a+ r²b= r²c ; R²a + R²b= R²c
  • ra,rb,rc-радиусы вписанных окружностей в ∆ACD, ∆BCD, ∆ABC
  • h²a+h²b=h²c (ha,hb,hc, -высоты,опущенные из вершин прямых углов

  • O1
  • O2
  • Окружность - Касательная
  • Доп-но:доказать,что ∆О1МО2 – прямоуг., М = 90º
  • II. MN = 2√Rr
  • R+r
  • R-r
  • I. АВ = 2√Rr
  • А
  • В
  • О2
  • О1
  • F
  • r
  • R
  • 2√Rr
  • 2√Rr
  • т.к. ∆AKB- прямоугольный, К= 90º, МК- медиана, АМ = МК = МB=√Rr
  • Аналогично NK= √Rr
  • Значит MN = МК + КN = 2√Rr
  • (т.к. О1МО2 – угол между биссектрисами смежных углов АМК и ВМК) МО1-биссектриса AMK, МО2- биссектриса ВМК
  • K
  • A
  • M
  • B
  • N
  • Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной
  • (MN) ,заключенному между общими внешними.
  • Оба эти отрезки равны 2√Rr

  • Задача
  • Дано: две касающиеся окружности с центром О1 и О2 , общая внешняя касательная. К – точка касания окружностей. А и В-точки касания. АК = а, ВК = b
  • Найти: r, R
  • 3)АВ = √a² + b²
  • А
  • В
  • O2
  • a
  • b
  • О1
  • К
  • 2) Если есть хорда в окружности, то проводим NO2 ┴ КВ, тогда N-середина КВ,
  • N
  • 4) ∆ BNO2 ~ ∆ AKB : ABK = BO2N
  • K = N =90º
  • R
  • 5) Найдем R: АВ : ВО2 = АК : BN
  • (√a² + b²) : R = a :(b/2) => R = (b√a² +b²) / 2a
  • Решение:
  • 1) АКВ- прямой
  • 6) Аналогично для r
  • r

  • Окружности: вписанные, описанные
  • I.R=½c , r = ½(a+b-c)= p-c
  • (p-полупериметр p=½ (a+b+c))
  • r = S/p ; R=abc/4S
  • II. BN= d = p-b ;
  • BN равен разности полупериметра p и противоположной стороны b
  • А
  • В
  • С
  • О1
  • О2
  • N
  • a
  • b
  • c
  • d
  • R + r =½(a+b)
  • r=½(a +b -√a²+b²)

  • Вневписанная окружность
  • I. Определение. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.
  • II. Центр вневписанной окружности- точка пересечения биссектрис внутреннего и внешних углов треугольника.
  • III. BN=BM=p (полупериметр)
  • IV. Радиус вневписанной окружности
  • a
  • b
  • c
  • A
  • B
  • C
  • N
  • K
  • M
  • rb
  • β
  • О
  • rb=p·tg(β/2)
  • ra =p·tg(α/2)
  • rc =p·tg(γ/2)
  • rb=S / (p-b)
  • ra=S / (p-a)
  • rc=S / (p-c)
  • ra + rb + rc = r + 4R
  • (сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности)

  • Задача
  • В
  • А
  • С
  • 6
  • 8
  • r1
  • r2
  • D
  • Дано:∆АВС, С= 90º, СD- высота
  • Вписанные окружности в ∆AСD и ∆BСD
  • АС = 6см, ВС = 8см
  • Найти: r1 , r2
  • Ответ: 1.2см ; 1.6см
  • Решение:
  • 1)АВ=√6²+ 8² =10(см)
  • 10
  • 2) СD=(АС·ВС)/АВ= (6·8)/10=4.8(см)
  • 4.8
  • 3) ∆АDС : AD=√AC²-CD² =√6²- (4.8)²=√36 – 23.04= =3.6(cм)
  • ∆BDC : DB= √BC²-CD²=√8²-(4.8)²=√(8- 4.8)(8+ 4.8)=6.4(см)
  • 3.6
  • 6.4
  • r1 = (AD+DC-AC)/2=(3.6 + 4.8 – 6)/2=1.2(см)
  • r2 = (CD+DB-CB)/8=1.6(см)
  • 1.6
  • 1.2