Презентация "Замечательные кривые в математике" 11 класс


Подписи к слайдам:
Замечательные кривые в математике

Замечательные кривые в математике

  • Рудницкая Мария
  • Соболь Анастасия
  • Ученицы 11 « А» класс
  • ГОУ ЦО № 1453 г. Москвы
  • Руководитель: Иванова В.Н.

Что же такое кривая линия?

  • В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры».
  • Кривая (подразумевается линия) есть след движущейся точки. Примерами являются острие карандаша, острый край куска мела, раскаленный метеор, пронизывающий верхние слои атмосферы, или ракета. С точки зрения этого определения прямая линия есть частный случай кривой.

Цели:

  • Рассмотрение некоторых замечательных кривых
  • Рассмотрение возможности из применения при решение задач из школьного курса геометрии, а также задач повышенной сложности
  • Применение их в технике и других сферах деятельности

Содержание:

  • Циклоида
  • Цепная линия
  • Спираль Архимеда
  • Спираль Корню
  • Логарифмическая спираль
  • Решение задач
  • Применение в жизни

Циклоида

  • Уравнение циклоиды
  • (от греческого kykloeides – «кругообразный») – траектория точки, лежащей на окружности круга единичного радиуса (производящего круга), который без скольжения катится по прямой (направляющей прямой).
  • x=t – sin t
  • y=1 – cos t

Свойства:

  • Свойства:
  • циклоида – кривая наибыстрейшего спуска;
  • циклоида – кривая, по которой должна двигаться тяжелая материальная точка, чтобы период ее колебания не зависел от амплитуды колебаний;
  • касательная к циклоиде в произвольной ее точке проходит через высшую точку производящего круга, а нормаль – через ее низшую точку;
  • длина арки циклоиды равна восьми радиусам производящего круга;
  • площадь, ограниченная аркой циклоиды и осью абцисс, равна утроенной площади производящего круга, т.е. 3πr2.

Цепная Линия

  • Свойства:
  • проекция ординаты произвольной точки цепной линии на нормаль (перпендикуляр к касательной) в этой точке равна 1;
  • длина дуги цепной линии от ее вершины до точки M (x; y) равна ;
  • площадь, ограничиваемая цепной линией, двумя ординатами и осью абсцисс, пропорциональна длине соответствующей дуги.
  • Цепная линия – кривая, форму которой принимает однородная гибкая тяжелая нерастяжимая нить с закрепленными концами под действием силы тяжести.
  • Уравнение:
  • y=a (e x/a + e-x/a)/ 2
  • Y
  • X
  • M (x; y)
  • x
  • y
  • a
  • 0

Спираль Архимеда

  • Спираль Архимеда – спираль, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу.
  • Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2πa.

Спираль Корню

  • Спираль Корню или Клотоида — кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги.
  • Уравнение:
  • R = k/S
  • R – радиус соприкасающейся окружности в точке кривой, в которой окажется поезд, пройдя по ней расстояние S; k – постоянная.
  • Клотоида имеет бесконечную длину

Логарифмическая спираль

  • Логарифмическая спираль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль».