Конспект урока "Теорема Менелая. Теорема Чевы" 10 класс

1
Тема: Теорема Менелая. Теорема Чевы. (2 часа)
Цели урока:
1. обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при
решении сложных задач;
2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
3. развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и
обобщать;
4. воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.
Задачи урока:
Образовательная: изучить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение
обобщать и систематизировать свои знания.
Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Ход урока
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Учитель сообщает тему и цель урока.
II этап. Лекция
Чева Джованни (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя,
опубликована в 1678 году.
Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.
Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB
треугольника ABC соответственно в точках A
1
, B
1
, C
1
, то имеет место равенство
1**
1
1
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
Доказательство. Проведём CD || AB. Рассмотрим треугольник A
1
BC
1
и
треугольник A
1
CD.
Угол DA
1
C=углу C
1
A
1
B (вертикальные)
Угол D = углу C
1
(накрест лежащие при CD || AC
1
и секущей C
1
D)
Следовательно, треугольник A
1
BC
1
подобен треугольнику A
1
CD. Стороны подобных треугольников
пропорциональны
DC
BC
CA
BA
1
1
1
2
Рассмотрим треугольник B
1
AC
1
и треугольник B
1
CD
Угол DB
1
C = углу AB
1
C
1
(Вертикальные)
Угол D = углу C
1
(Накрест лежащие при CD || AC
1
и секущей C
1
D)
Следовательно, треугольник B
1
AC
1
подобен треугольнику B
1
CD. Следовательно,
11
1
AC
DC
AB
CB
У нас получилось два равенства
DC
BC
CA
BA
1
1
1
и
11
1
AC
DC
AB
CB
Перемножим почленно эти равенства:
1
1
1
1
1
1
**
AC
DC
DC
BC
AB
CB
CA
BA
. Получим
Воспользуемся свойством дробей:
1*,
c
d
b
a
то
d
c
b
a
(Например
1
8
10
*
5
4
;
10
8
5
4
)
Имеем
1**
1
1
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
. Теорема доказана.
Доказательство остаётся в силе
и в том случае, когда все три
точки A
1
, B
1
, C
1
лежат на
продолжениях сторон
треугольника ABC
Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение.
Пусть ABи CD ненулевые коллинеарные векторы. Если
CDkAB
, то будем писать:
k
CD
AB
. Значит,
число k равно отношению длин векторов
AB
и
CD
, взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и
со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше
равенство принимает вид:
1**
1
1
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
Докажем обратную теорему.
Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A
1
, B
1
, C
1
. Если выполняется
равенство
1**
1
1
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
, то эти точки лежат на одной прямой.
3
Допустим, что выполнено равенство
1**
1
1
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
, и пусть прямая A
1
B
1
пересекает прямую
AB в точке C
2
. Согласно прямой теореме,
1**
2
2
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
. Сравнивая это соотношение с данным,
получим, что
BC
AC
BC
AC
2
2
1
1
.
Прибавим к обеим частям равенства 1.
11
2
2
1
1
BC
AC
BC
AC
, получим:
BC
BCAC
BC
CBAC
2
22
1
1
т.е.
BC
AB
BC
AB
21
,
откуда, т.е.
21
BCBC
C
1
и C
2
совпадут.
Теорема Чевы
Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты
соответственно точки A
1
; B
1
; C
1
. Прямые AA
1
; BB
1
; CC
1
пересекаются в одной точке или параллельны
тогда и только тогда, когда
1**
1
1
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
Доказательство. Пусть прямые AA
1
; BB
1
; CC
1
пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника
(рисунок а) или вне
ABC (рисунок б).
Применим теорему Менелая к
BCC
1
и секущей AA
1
, получим:
1**
1
1
1
1
AB
AC
OC
CO
CA
BA
Для треугольника ACC
1
и секущей BB
1
получим:
1**
1
1
1
1
OC
OC
BC
AB
AB
CB
Перемножим почленно эти равенства
***
1
1
1
1
AB
AC
OC
CO
CA
BA
)1(*)1(**
1
1
1
1
OC
OC
BC
AB
AB
CB
***
1
1
1
1
AB
AC
OC
CO
CA
BA
)1(*)1(**
1
1
1
1
OC
OC
BC
AB
AB
CB
1**
1
1
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
Что и требовалось доказать.
4
Замечание. Если AA
1
, BB
1
, CC
1
параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об
отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.
Для решения задач чаще применяется обратная теорема.
Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты
соответственно точки A
1
; B
1
; C
1.
Если выполняются равенство
1**
1
1
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
, то прямые AA
1
;
BB
1
; CC
1
пересекаются в одной точке или параллельны.
Доказательство. Пусть AA
1
BB
1
=O. Проведём прямую CO, С
2
=CO
AB.
По теореме Чевы
1**
2
2
1
1
1
1
BC
AC
AB
CB
CA
BA
. Учитывая условие имеем:
k
BC
AC
BC
AC
1
1
2
2
, откуда
2
AC
=k
BC
2
,
1
AC
=k
BC
1
. Вычтем второе равенство из первого
)(
12
12
BCBCkACAC
. По свойству векторов получим
21
CC
=k
12
CC
=
= - k
21
CC
.
Т.к. k
-1 (иначе бы
ACBCетBCAC
111
1
..,
, но точки A и B не совпадают), следовательно,
0
21
CC
, т.е.
точки C
1
,C
2
совпадают. Но это и означает, что прямые AA
1
; BB
1
; CC
1
пересекаются в одной точке.
Аналогично доказывается, что если AA
1
||BB
1
, то и CC
1
||BB
1
.
III этап. Решение задач. (22 мин.)
. Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.
Задача №1
Решение
Рассмотрим
ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме
Менелая:
1**
MB
AM
CA
CN
KN
BK
. т.к.
1
2
2
MB
AM
,
1
2
2
AN
CN
, тогда
3
2
CA
CN
, то
1
1
2
*
3
2
*
KN
BK
, следовательно,
4
3
3
4
:1
KN
BK
Ответ:
KN
BK
=
4
3
Задача №2
Дано:
ABC;
2
AN
CN
MB
AM
CM
BN = K, M
AB, N
AC
Найти:
KN
BK
5
Решение
1 способ
Рассмотрим
ACC
1
и секущую BB
1
(точки пересечения B
1
, K, B). Применим теорему Менелая
1**
11
11
BC
AB
AB
CB
KC
KC
.
2
1
1
AB
CB
;
1
2
1
1
BC
AC
из этого следует
1
BC
AB
=3. Подставим в равенство
13*2*
1
KC
KC
, отсюда,
6
1
1
KC
KC
Рассмотрим
ABA
1
и секущую CC
1
(Точки пересечения C
1
, N, C) По теореме Менелая:
1**
11
11
CA
BC
BC
AC
NA
NA
2
1
1
BC
AC
;
2
1
1
CA
BA
, отсюда,
3
1
CA
BC
, подставим в равенство,
13*2*
1
NA
NA
, отсюда,
6
1
1
NA
NA
Рассмотрим
BB
1
C и секущую AA
1
(точки пересечения A, P, A
1
) По теореме Менелая:
1**
11
11
AB
CA
CA
BA
PB
PB
2
1
1
CA
BA
;
2
1
1
AB
CB
, отсюда,
3
1
AB
CA
. Подставим в равенство
13*2*
1
PB
PB
, отсюда,
6
1
1
PB
PB
Далее будем использовать свойство площадей частей треугольника
DC
AD
S
S
DBC
ABD
, где D
AC
Дано:
ABC;
2
1
1
1
1
1
1
AB
CB
CA
BA
BC
AC
;
A
1
BC; B
1
AC;
C
1
AB. S
ABC
= S,
PKN ограничен прямыми: AA
1
,
BB
1
, CC
1
.
Найти: S
PKN
6
Действительно,
DC
AD
hDC
hAD
S
S
DBC
ABD
*
2
1
*
2
1
Обратимся к рисунку к задаче
В
C
1
BC
6
1
1
KC
KC
, следовательно, S
3
+S
4
=6S
2
В
AA
1
C
6
1
1
NA
NA
, следовательно, S
5
+S
6
=6S
4
В
ABB
1
6
1
1
PB
PB
, следовательно, S
2
+S
7
=6S
6
.
т.к. BA
1
= 2 A
1
C, следовательно, S
ABA1
= 2S
AA1C
, следовательно, S
1
+S
2
+S
3
+S
7
=2S
6
+2S
5
+2S
4
(1)
т.к. AC
1
= 2BC
1
, следовательно, S
ACC1
= 2S
BCC1
, следовательно, S
1
+S
5
+S
6
+S
7
=2S
2
+2S
3
+2S
4
(2)
т.к. S
B1BC
= 2S
ABB1
(B
1
C = 2 B
1
A)
S
1
+S
3
+S
4
+S
5
=2S
2
+2S
6
+2S
7
(3)
Сложим равенства (1), (2), (3) почленно:
3S
1
+S
2
+2S
3
+S
4
+2S
5
+S
6
+2S
7
=4S
2
+4S
4
+2S
3
+2S
5
+4S
6
+2S
7
.
После упрощения получим:
3S
1
=3S
2
+3S
4
+3S
6
; S
1
=S
2
+S
4
+S
6
Из доказанного, что S
3
+S
4
=6S
2
следует, что
6
43
2
SS
S
, так же
6
65
4
SS
S
и
6
72
6
SS
S
,
подставим,
S
1=
6
43
SS
+
6
65
SS
+
6
72
SS
т.е. S
1
=
6
1
(S
2
+S
3
+S
4
+S
5
+S
6
+S
7
)=
S
6
1
, следовательно, S=7S
1
, где
S=S
ABC
; S
1
=S
PKN
.
Ответ: S=7S
1
2 способ
По теореме Менелая:
6
1
1
KC
KC
, следовательно,
7
1
1
1
CC
KC
.
Значит, S
C1KB
=
7
1
S
C1BC
Аналогично S
AB1P
=
7
1
S
AB1B
, S
A1NC
=
7
1
S
ACA1
По условию A
1
C=
3
1
CB, следовательно, S
ACA1
=
3
1
S
ABC
, следовательно, S
A1NC
=
21
1
S
ABC
AB
1
=
3
1
AC, следовательно, S
ABB1
=
3
1
S
ABC
, следовательно, S
APB1
=
21
1
S
ABC
C
1
B=
3
1
AB, следовательно, S
C1BC
=
3
1
S
ABC
, следовательно, S
C1BK
=
21
1
S
ABC
S
ABC
=S
ACA1
+S
CC1B
-S
A1NC
+S
APKC1
+S
KPN
, пусть S
ABC
=S.
S=
3
1
S+
3
1
S-
21
1
S+
21
5
S+S
KPN
7
S=
21
18
S+ S
KPN
, откуда S
KPN
=(1-
21
18
)S=
21
3
S; S
KPN
=
7
1
S
Ответ: S
KPN
=
7
1
S
Задача №3
Решение
А) Используем свойство площадей треугольников:
DC
AD
S
S
BDC
ABD
(в случае, если BD –медиана, то S
ABD
= S
CBD
)
Проведём медианы в
B
1
AC
1
, в
B
1
A
1
C и в
BC
1
A
1
.
Обозначим площади частей
A
1
B
1
C
1
буквами S
1
;S
2
;S
3
;S
4
;S
5
;S
6
;S
7
По свойству, приведённому выше:
S
1
=S
2
(AB медиана
B
1
BC)
S
6
=S
7
(A
1
A медиана
B
1
A
1
C) , следовательно, S
1
=S
7
S
6
=S
1
(AC медиана
ABA
1
)
S
2
=S
3
(B
1
B медиана
AB
1
C
1
), следовательно, S
1
=S
3
S
1
=S
4
(CB медиана
ACC
1
)
S
4
=S
5
(C
1
C медиана
BC
1
A
1
), следовательно, S
1
=S
5
S
A1B1C1
= S
1
+S
2
+S
3
+S
4
+S
5
+S
6
+S
7
= 7S
ABC
, где S
ABC
=S
1
Значит,
111 CBA
ABC
S
S
=
7
1
Б) точки A, B, K лежат на одной прямой, пересекающей стороны
A
1
B
1
C
По теореме Менелая:
1**
1
1
1
1
BA
CB
AC
AB
KB
KA
,
1
1
AC
AB
т.к. B
1
A=AC;
2
1
1
BA
CB
т.к. BC=CA
1
, следовательно,
1
2
1
*1*
1
1
KB
KA
т.е.
2
1
1
KB
KA
Ответ:
111 CBA
ABC
S
S
=
7
1
,
2
1
1
KB
KA
Дано:
ABC; C
1
AB;
AB=BC
1
; A
1
BC; BC=CA
1
; B
1
AC; AC=AB
1
Найти: а)
111 CBA
ABC
S
S
Б)
1
1
KB
KA
, где K=AB
A
1
B
1
8
Задача №4
Решение
Используем теорему Менелая для
BCD и секущей EP.
1**
PB
DP
ND
CN
EC
BE
; CN=ND; следовательно,
1
ND
CN
.
1*1*
PB
DP
EC
BE
, следовательно,
DP
PB
EC
BE
.
Рассмотрим
ABD и секущую MP. По теореме Менелая:
1**
PB
DP
FD
AF
MA
BM
; BM=MA, следовательно,
1
MA
BM
, тогда,
1**1
PB
DP
FD
AF
, следовательно,
DP
PB
FD
AF
.
Из двух равенств:
DP
PB
EC
BE
и
DP
PB
FD
AF
, следует что,
FD
AF
EC
BE
. Что и требовалось доказать.
Задача №5
Решение
Используем теорему Менелая поочерёдно к треугольникам:
AKM и секущая DO (точки пересечения O, P, D)
1**
DA
MD
PM
KP
OK
AO
;
1
2
1
*1*
OK
AO
, следовательно,
AO=2OK.
BPN и секущая OC (точки пересечения O, K, C)
1**
CB
NC
KN
PK
OP
BO
;
1
2
1
*1*
OP
BO
, следовательно,
BO=2OP.
AOD и секущая AK (точки пересечения M, P, K)
1**
KA
OK
PO
DP
MD
AM
;
1
3
1
**1
PO
DP
, следовательно,
DP=3PO
BOC и секущая PN (точки пересечения P, K, N)
1**
BP
OP
KO
CK
NC
BN
;
1
3
1
**1
KO
CK
, следовательно,
CK=3OK.
Дано: ABCD четырёхугольник. M
середина AD; N середина BC.
MP=PK=KN
Доказать: ABCD трапеция;
DC=2AB
Дано: четырёхугольник ABCD; P
BD; N середина CD;
M середина AB; PN
BC=E; PM
AD=F
Доказать:
FD
AF
EC
BE
9
Значит, DO=4PO; BO=2PO, т.е.
2
BO
DO
CO=4OK; AO=2OK, т.е.
2
AO
CO
. В
AOB и
COD
AO
CO
BO
DO
,
AOB =
DOC вертикальные, следовательно,
AOB подобен
COD, следовательно
BAO=
DCO
(накрест лежащие при прямых AB и DC и секущей AC), следовательно, AB || DC. Значит, ABCD трапеция.
Из равенств
2
BO
DO
и
2
AO
CO
видно, что стороны подобных треугольников
AOB и
COD относятся
как
1
2
, значит
2
AB
DC
или DC=2AB. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим задачи на применение теоремы Чевы.
Задача №1
Доказательство
Пусть AA
1
, BB
1
, CC
1
медианы треугольника ABC.
Проверим равенство:
1**
1
1
1
1
1
1
AB
CB
CA
BA
BC
AC
, 1*1*1=1 (верно).
Утверждение доказано согласно теореме Чевы.
Задача №2
Доказательство
Пусть BE, CM, AK биссектрисы
ABC.
Воспользуемся свойством: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части,
пропорциональные прилежащим к ней сторонам.
Значит,
AC
AB
KC
BK
BC
AC
MB
AM
AB
BC
EA
CE
;;
. Найдём произведение
1****
AC
AB
BC
AC
AB
BC
KC
BK
MB
AM
EA
CE
, по
теореме Чевы прямые BE, CM, AK пересекаются в одной точке.
Дано: Треугольник ABC.
Доказать: медианы треугольника
пересекаются в одной точке.
Дано: треугольник ABC
Доказать: биссектрисы
ABC
пересекаются в одной точке
10
Задача №3
Решение
Прямые AA
1
, BB
1
и CM пересекаются в одной точке P. По теореме
Чевы:
1**
1
1
1
1
CB
AB
MA
BM
BA
CA
,
1
MA
BM
, поэтому
1
1
1
1
AB
CB
BA
CA
=>
CA
CB
CB
CA
11
CB
1
A
1
подобен
CAB (
CA
CB
CB
CA
11
;
C общий)
Значит,
CB
1
A
1
=
CAB соответственные при прямых B
1
A
1
и AB и секущей AC, поэтому A
1
B
1
|| AB.
Что и требовалось доказать.
Задача №4
Решение
Пусть r радиус окружности.
Из прямоугольных треугольников OBC
1
и OCB
1
находим CB
1
=r*ctg C, C
1
B=r*ctg B.
Из прямоугольных треугольников ABA
1
и ACA
1
имеем BA
1
=AA
1
*ctg B; A
1
C=AA
1
*ctg C; AB
1
=AC
1
как
отрезки касательных, проведённых из одной точки.
Найдём произведение:
BC
AC
AB
CB
CA
BA
1
1
1
1
1
1
**
=
BC
AC
AB
CB
CA
BA
1
1
1
1
1
1
*
*
*
*
=
1**
1
1
1
1
ctgB
ctgC
ctgC
ctgB
BC
CB
CA
BA
Согласно теореме Чевы прямые AA
1
, BB
1
, CC
1
пересекаются в одной точке, т.е. P
AA
1
. Что и требовалось
доказать.
Задача №5
Дано:
ABC, CM медиана,
P
CM, AP
BC=A
1
, BP
AC=B
1
Доказать: A
1
B
1
|| AB
Дано: В
ABC вписана
полуокружность. Диаметр
лежит на стороне BC, C
1
; B
1
точки касания сторон AB, AC и
полуокружности. BB
1
CC
1
=P,
AA
1
BC.
Доказать: P
AA
1
11
Решение
Пусть S
CDM
=S
1
, S
BDN
=S
2
, S
ANM
=S
3
, S
ABC
=S.
Знаем, что площади двух треугольников, имеющих общий угол, относятся как произведения сторон,
заключающих этот угол. Имеем
CBCA
CDCM
S
S
*
*
1
По условию
1
y
AM
CM
, следовательно
y
y
CA
CM
1
;
1
x
DC
BD
, следовательно,
x
x
BC
BD
1
, отсюда,
)1(*)1()1(*)1(
*1
1
xy
y
xy
y
S
S
Аналогично,
)1(*)1(
2
xz
x
S
S
;
)1(*)1(
3
zy
z
S
S
Найдём
SDMN
= S- (S
1
+S
2
+S
3
)
S
DMN
= S-(
)1(*)1( xy
Sy
+
)1(*)1( xz
Sx
+
)1(*)1( zy
Sz
)=
=S-
*)1(
)1(
y
zSy
*)1(
)1(
x
ySx
)1(
)1(
z
xSz
=
)1(*)1(*)1(
)1(*)(
zxy
SxzSzSxySxSzySyxzzxSyS
=
=
)1(*)1(*)1( zxy
Sx zSzSxySxSyzSySx zySx zSyzSzSxSxySyS
= =
)1(*)1(*)1( zxy
SxyzS
В треугольнике ABCотрезки AD, BM, CN пересекаются в одной точке. По теореме Чевы
1** xyz
NB
AN
MA
CM
DC
BD
Значит,
)1(*)1(*)1(
2
zyx
S
S
ABC
DMN
Что и требовалось доказать.
Задача №6
Доказать. Что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность
касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Дано:
ABC, P
ABC, AP
BC=D, BP
AC=M, CP
AB=N;
z
NB
AN
y
MA
CM
x
DC
BD
;;
Доказать:
)1(*)1(*)1(
2
zyx
S
S
ABC
DMN
12
Решение
По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки AM=AP=a; BM=BN=b; CN=CP=c.
Найдём произведение отношений:
1
**
**
****
acb
cba
a
c
c
b
b
a
AB
CP
NC
BN
MB
AM
По теореме Чевы AN
BP
CM=O
1
V этап. Итог урока
VI этап. Домашнее задание
1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в
отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка
Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ:
4.)
2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ =
2:3, Q точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС,
опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)
Дано:
ABC. Окружность (O;r)
вписана в
ABC.
OM=ON=OP=r
Доказать: AN; BP, CM
пересекаются в одной точке.