Конспект урока "Вычисление углов между скрещивающимися прямыми" 11 класс

Конспект урока по математике
для учащихся 11 класса
«Вычисление углов между
скрещивающимися прямыми»
(Подготовка к ЕГЭ)
Автор:
Учитель математики МОУ «СОШ № 55»
Ленинского района города Саратова
ПЕТРОВА Людмила Дмитриевна
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Урок одной задачи по тему:
«Угол между скрещивающимися прямыми».
I. Характеристика темы урока.
1) Центральным моментом технологии подготовки к
ЕГЭ является обучение школьника приёмам
мысленного поиска способа решения, а для этого
следует показать ему всю картину поиска в трудных
заданиях.
2) Решение задачи по стереометрии, планиметрии
оформляются примерно одинаково. В основе лежат
общематематические и даже, можно сказать,
общенаучные принципы.
Структура текста решения такова: оно разделяется
на этапы, а те, в свою очередь, могут быть разбиты на
более мелкие части, содержащие цепочки
умозаключений: как правило, следствий, равенств и
даже неравенств, в зависимости от постановки и
содержания задачи.
3) Особая роль при решении геометрической задачи
отводится чертежу, он не обязательно должен быть
ровно один. Обычно на нём, в соответствии с
условием задачи отмечают следующие данные:
а) обозначения точек, прямых, плоскостей и других
геометрических объектов;
б) длины отрезков, величины углов, площади и
объёмы;
в) соотношения равенства длин или углов,
перпендикулярности прямых или плоскостей.
На чертеже можно ещё и вводить новые:
а) обозначения объектов – первоначальных или
возникающих в процессе дополнительных построений;
б) величины – буквенные или вычисленные в
процессе решения;
в) соотношения равенства или
перпендикулярности, определяемые построением или
выведенные с помощью рассуждений.
Одним словом, на чертеже фактически можно решать
задачу, или, по крайней мере, демонстрировать
фрагменты её решения.
4) В связи с возможностью решать задачу прямо на
чертеже возникают некоторые ограничения и
проблемы.
Ученику необходимо побеспокоится о том, чтобы
проверяющий смог понять, в каком порядке и на
основании чего появились на чертеже новые пометки.
С этой целью пишется текст решения, который хотя и
дублирует отчасти чертёж, тем не менее, отличается
большей содержательностью, т.к. в нём :
а) отражается хронология проведённых
умозаключений;
б) указываются причинно-следственные связи
между утверждениями.
Чертёж должен быть абсолютно ясным и
разборчивым, а главное, понятным.
Укажем типы задач по стереометрии, встречающиеся
на ЕГЭ и вызывающие определённые трудности.
1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Расстояние от точки до прямой, до плоскости,
расстояние между скрещивающимися прямыми.
3. Угол прямой с плоскостью.
4. Угол между плоскостями.
II. Цели урока.
1) Методическая цель урока.
Показать приёмы формирования у школьников
навыков решения задач на вычисление углов в
пространстве, умения применять изученный
теоретический материал на практике, развивать их
самостоятельность при решении задач разными
методами.
Методы:
А) использование моделей фигур и интерпретация
их на чертеже;
Б) отбор соответствующих задач, способствующих
формированию навыков и умений учащихся;
В) рассмотрение различных способов решения
одной задачи.
2) Образовательная цель урока.
Рассмотреть 3 метода решения одной задачи на
вычисление угла между скрещивающимися прямыми.
3) Воспитательные цели урока.
Формирование мировоззрения: показать, что
источник возникновения изучаемых понятий
представляет собой определённую систему знаний в
геометрии.
III. На доске девиз.
«Незнанием никогда не следует
хвалиться: незнание есть бессилие».
- Н. Г. Чернышевский.
Сегодня на уроке при решении одной задачи на
вычисление угла между скрещивающимися прямыми
мы рассмотрим 3 метода решения.
Методы:
1. Поэтапно-вычислительный
2. Векторно-координатный
3. Геометрический
Задача.
На ребрах АВ, АС и SC правильной треугольной
пирамиды SABC, у которой все плоские углы при
вершине S прямые, взяты соответственно точки D,
E, F середины этих рёбер. Найти угол между
прямыми DF и SE.
Решение.
1. Поэтапно вычислительный метод.
1) Построение чертежа.
2) Угол между прямыми DF и SE искомый. DF и
SE скрещивающиеся прямые, т.к. SE лежит в
плоскости ASC, а прямая пересекает эту
плоскость в точке F, не лежащей на прямой SE.
3) Построим какой-нибудь угол, равный
искомому. Для этого в плоскости SAC, которая
проходит через прямую SE (одну из
скрещивающихся прямых) и точку F (на другой
скрещивающейся прямой), через т. F проведём
прямую FK||SE.
DFK равен искомому. Пусть DFK = .
4) Угол поместим в некоторый треугольник, для
чего проведём DK. - угол треугольника DFK.
5) Найдём стороны треугольника DFK.
а) введём вспомогательный параметр:
обозначим сторону основания через ;
б) треугольник ASC прямоугольный
равнобедренный, SE медиана; SE = AE =
.
FK средняя линия треугольника SEC, FK =
.
в) Найдём DF из треугольника SDF.
Определим вид этого треугольника.
По условию BSA, BSC, ASC прямые.
Следовательно,
SCSB SC (BSA)
SCSA по признаку.
Аналогично,
SD (BSA) SC SD по
SC (BSA) определению.
Следовательно, DSC прямоугольный, и DSF
тоже прямоугольный.
г) SF =
SC =
(

) =

д) По теореме Пифагора DF =


=

=


=

=


=

.
DF =

.
e) По теореме косинусов:
DK
2
= AD
2
+ AK
2
2DA AK cosA = (
)
2
(
a)
2
2

cos60 =
+


-

+


.
DK =

=
.
6) Из :
cos =





=









= 0.
=90
2) Векторно – координатный метод.
Т.к. заданная пирамида правильная, то SA=SC=SB. По
условию все углы при вершине S прямые. Поэтому:
1) введём в пространстве прямоугольную систему
координат: начало – точка S; отрезки SB, SA, SC
единичные отрезки соответствующих осей Sx, Sy, Sz.
2) Определим координаты точек S, A, B, C, D, E, F.
3)

{
;
},

{


}.
4) cos (= |cos(

,

)| =




=



= 0.
=90
3) Геометрический метод.
Т.к. отрезки SA, SB, SC равны между собой и попарно
перпендикулярны, то можно принять их за рёбра
куба, выходящие из одной вершины.
Построим этот куб и заданные точки D, E, F.
1) Соединим вершины P и С куба и проведём
диагональ SQ.
2) Нетрудно убедиться, что DF||PC (средняя линия

3) Угол между прямыми SE и DF равен углу между PC
и SQ.
4) АС – проекция прямой РС на плоскость ASC.
АСSQ (свойство диагоналей квадрата)
РСSQ (теорема о трёх перпендикулярах)
Следовательно, DFSQ и тогда DFSE, т.е. угол
равен 90.
4) Итог урока.
На примере одной задачи мы рассмотрели 3
различных метода решения. Можно сказать, что
эффективность каждого метода зависит конкретно
от предлагаемой задачи. Какой метод выбрать
зависит от вас, вашей математической подготовки и
опыта, т.е. количества решенных вами задач. Вы
убедились, какой большой теоретический материал
необходим для решения задачи.
Наш урок я хочу закончить словами:
«Считай несчастным тот день или тот час, в
который ты не усвоил ничего нового и ничего не
прибавил к своему образованию»
- Ян-Амос Каменский
5) Домашнее задание. Задачи на стенде.
1. В правильной пирамиде SABC отношение
бокового ребра к стороне основания равно 2:1. На
рёбрах АВ и АС взяты соответственно точки М и К –
середины этих рёбер. Найти угол между прямыми
SM и ВК.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
угол между прямыми B
1
D и CD
1
равен 90 и АВ:AD
= 1:2. Найти угол между прямыми АС и А
1
D.
3. На рёбрах ВВ
1
и С
1
D
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взяты
соответственно точки Р и Q такие, что ВР:ВВ
1
=2:3,
С
1
Q : C
1
D
1
= 1:4. Плоскость, проходящая через
точки A, P, Q, пересекает прямые DD
1
и B
1
C
1
соответственно в точках E и F. Найти угол между
прямыми EF и А
1
С.
4. В основании пирамиды лежит параллелограмм
ABCD, угол BAD которого равен 45, а отношение
сторон АВ:АD = 1:2. Грань SAB является
равносторонним треугольником, а её медиана SF
перпендикулярна плоскости основания. На ребре
SC взята точка М, такая что SМ:SC = 2:3. Найти угол
между прямыми SF и DM.