Презентация "Сферы, описанные около многогранников" скачать бесплатно


Презентация "Сферы, описанные около многогранников"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

Сферы, описанные около многогранников.

Определение.

Многогранник называется вписанным в сферу (а

сфера описанной около многогранника), если все

вершины многогранника принадлежат этой сфере.

Следствие.

Центр описанной сферы есть точка, равноудаленная

от всех вершин многогранника.

O

O

O

.

.

.

Теорема 1.

Множество точек равноудаленных от двух данных

точек, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку с

концами в данных точках, проходящая через его

середину (плоскость серединных перпендикуляров к

этому отрезку).

AB ┴ α

AO=OB

α

A

B

O

Теорема 2.

Множество точек, равноудаленных от n заданных точек,

лежащих на одной окружности, есть прямая,

перпендикулярная плоскости этих точек, проходящая

через центр описанной около них окружности.

C

E

A

B

D

O

a

.

.

.

.

.

.

C

E

A

B

D

.

.

.

.

.

Призма вписанная в сферу.

OA=OB=…=OX=Rсф

.O1

.O

.Oсф

a1

a

.A1

.B1

.C1

.D1

E1.

X1.

.A

.B

.C

.D

E.

X.

a

a1

.O

.O1

Следствия.

1)Около прямой треугольной призмы можно описать сферу, т.к. около треугольника всегда можно описать окружность.

2) Около любой правильной призмы можно описать сферу, т.к. правильная призма является прямой и около правильного многогранника всегда можно описать окружность.

O

.

O

.

.

Задача №1.

Шар описан около призмы, в основании которой лежит

прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковое ребро

призмы равно 24. Найдите Радиус шара.

Дано: ∆ABC – прямоугольный;

AC=6, BC=8, AA1=24.

Найти: Rш=?

Решение:

1)OO1 ┴AB1; OO1=AA1=24.

2) ABC: AB=10.

3) OшOB: Rш=OшB=√OOш2 + OB 2 =

=√144+25=13

Ответ: 13.

О1

О

.

.

.

Ош

С1

B1

A1

A

С

B

Задача №3.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,3 и 5.

Найдите радиус описанного шара.

Дано:AB=a=2; BC=b=3;

CC1=c=5.

Найти: Rш=?

Решение:

1) AC2 =a2+b2+c2.

2) A1C2 =25+9+4=38 (Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда)

3) A1C=√38; Rш= OшC= √38/2

Ответ: √38/2

D1

C1

B1

A1

A

B

C

D

5

2

3

.

.

.

Задача №3.

Сторона основания правильной треугольной призмы равна

a, а боковое ребро равно 2a. Найдите радиус описанного

шара.

Дано: AB=BC=AC=a, AA1┴ABC;

AA1= 2a.

Найти: Rш=?

Решение:

1)AB=AO√3; AO=a/√3.

2)Rш=√a2 + a2/3=2a/√3

Ответ: 2a/√3

C1

B

A1

C

B1

A

.

O

O1

Следствия.

1)Около треугольной пирамиду всегда

можно описать сферу, так как около

треугольника всегда можно описать

окружность.

2)Около правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

3)Если боковые ребра пирамиды равны

(одинаково наклонены к основанию),

то около такой пирамиды всегда можно

описать сферу.

*В последних двух случаях центр сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

O

.

O

.

Задачи (сфера, описанная около пирамиды).

Около пирамиды PABC, основание которой – правильный треугольник

ABC со стороной 4√3, описан шар. Боковое ребро PA перпендикулярно

плоскости основания пирамиды и равно 6. Найти радиус шара.

Дано: AB=BC=AC=4√3; PA┴(ABC); PA=6.

Найти: Rш=?

Решение:

1) OOСФ ┴(ABC); O – центр описанной около

∆ABC окружности; KOСФ ┴ PA; KP=AK (KOСФ

Один из серединных перпендикуляров к боковому

ребру PA); OСФ – центр описанного шара.

2) OOСФ ┴(ABC); OOСФ принадлежит (AKO);

PA┴(ABC); AK принадлежит (AKO);

значит KA||OOСФ;

.OСФ

.O

K.

P.

A.

B

.C

Задачи (сфера, описанная около пирамиды).

3) KOcф ┴AP; KOcф принадлежит (AOK);

AO ┴AP; AO принадлежит (AOK); значит KOcф || AO;

4) Из (2) и (3): AOOcфK- прямоугольник, AK=PA/2=3;

5) AO=AB/√3=4;

6) ∆AOOcф: AOcф = Rш =5

Ответ: 5

Задачи (сфера, описанная около пирамиды).

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к

основанию под углом 45 ˚. Высота пирамиды равна h. Найдите радиус

описанной сферы.

Дано: PABCD – правильная пирамида;

(AP^(ABC))=45˚; PO=h.

Найти: Rш=?

Решение:

1) AO=OP=h; AP=h√2;

2) ∆PAP1 – прямоугольный; PP1 – диаметр

шара; PP1 = 2Rш; AP2= PP1*OP;

(h√2)2=2 Rш*h; Rш=2h2/2h=h.

Ответ: h

.C

.B

A.

.D

.P

.P1

.O

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно.

Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра

равен R. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра.

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно.

Дано: DABC – правильный тетраэдр;

R – радиус сферы.

Найти: Sполн.тетр. =?

Решение:

1) Так как тетраэдр правильный, то центр

описанной сферы принадлежит прямой,

содержащей высоту пирамиды;

2) Sполн.тетр. = a2 √3/4*4= a2√3; 3) Точки D, A, D1

принадлежат одной окружности – сечению сферы

плоскостью DAD1, значит угол DAD1 - вписанный угол, опирающийся на диаметр, DD1; угол DAD1=90˚;

4) AO – высота ∆ADD1, проведенная из вершины прямого угла. AD2= DO*DD1;

5) AO=a/√3; DO=√a2-a2/3=a√2/√3; a2=a√2/√3*2R;

a=√2/√3*2R; a2= 8R2/3;

.D1

.D

.O

.B

.C

A.

a

a

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно.

6) Sполн.тетр. = 8R2 √3/3

Ответ: 8R2 √3/3