Презентация "Теорема Менелая" 11 класс


Подписи к слайдам:
Теорема Чивы и Менелая.

Теорема Менелая.

Задачи:

  • Изучить теорему.
  • Знать её применение.
  • Уметь решать задачи на изученную теорему.

Введение

В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.

Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая.

Биография ученого

  • Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э.
  • Его работы: главным сочинением Меналая является «Сферика» в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике.

Биография ученого

  • Труд «Сферика» стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая.

Биография ученого

  • Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a1:b1=b2b3:a2a3, в которой буквы a1, a2 и а3 и, соответственно, буквы b1, b2 и b3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а1 находится к b1 в таком же сложном отношении, в каком находятся b2 к а2 и b3 к a3.

Теорема Менелая

Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1, B1. Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Теорема Менелая

Доказательство. Предположим, что точки A1,B1, C1 принадлежат одной прямой a.Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB. Из подобия треугольников ADC и AC1B1 следует выполнимость равенства:

Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC1A1 следует выполнимость равенства:

Перемножая эти равенства, получим равенство:

из которого следует требуемое равенство.

Теорема Менелая

Докажем обратное. Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С1, А1, В1, для которых выполняется равенство .

Предположим, что прямая A1B1 пересекает прямую AB в некоторой точке С`. По доказанному, выполняется равенство:

Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C`и C1 и, значит, точки A1, B1, C1 принадлежат одной прямой.

Теорема Менелая

Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z, то

 

 

 

Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторо­ну АВ в точке F. Найдите отношение .

Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторо­ну АВ в точке F. Найдите отношение .

Задачи на теорему Менелая

Решение. По условию задачи МА = AC, NC =3BN. Пусть МА = АС = b, BN =k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая:

Решение. По условию задачи МА = AC, NC =3BN. Пусть МА = АС = b, BN =k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая:

Ответ: 2 : 3.

В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.

В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.

1 способ. Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К.

1 способ. Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К.

Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2

2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство:

Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР

получим, что МО:РС=1:2.

Ответ: 1:2.

Задача 2. Пусть AD медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Задача 2. Пусть AD медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение. Пусть AD = DC = a, KD = т; тогда АК = 3т. Пусть Р точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то

Решение. Пусть AD = DC = a, KD = т; тогда АК = 3т. Пусть Р точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем:

Итак,

Ответ: 3:2.

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении р, а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS : SN.

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении р, а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS : SN.

Решение. если MD = b, то AM = pb; если NC = a, то ND = aq.

Решение. если MD = b, то AM = pb; если NC = a, то ND = aq.

Пусть В1 – точка пересечения прямых ВМ и CD. ~ , тогда

Прямая ВВ1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая:

Откуда

Ответ:

Задача 4. В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС.

Задача 4. В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС.

АК : ВК = 1 : 2,

CL : BL = 2 : 1.

Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение.1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

Решение.1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

(1)

В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

(2)

то есть MC = 4.p, AM = p.

2) Еще раз перепишем равенство (1):

то есть

3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит,

Тогда = .

4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высо­ты, проведенные из вершины В, значит,

4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высо­ты, проведенные из вершины В, значит,

=

=

Ответ: 1,75.

Задача 5.

Задача 5.

Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2.

Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2.

S1

S2

A2

A1

S

Доказательство.

Доказательство.

Пусть О, О1 и О2 – центры

окружностей S, S1 и S2; X – точка

пересечения прямых О1О2 и А1А2.

Применяя теорему Менелая к

треугольнику ОО1О2 и точкам А1,

А2 и Х, получаем:

а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где

R1 и R2 – радиусы окружностей

S1 и S2. Следовательно, Х – точка

пересечения общих внешних или внутренних

касательных к окружностям S1 и S2.

X

S

A1

A2

O1

O2

S1

S2

О

Задача 6. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR — точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q. Найдите

Задача 6. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR — точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q. Найдите

Решение. По условию NQ=LR , Пусть NA = LR = а, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая:

Решение. По условию NQ=LR , Пусть NA = LR = а, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая:

Ответ: n : m.

Задача 7. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А1 и С1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1 Найдите АР: РА1.

Задача 7. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А1 и С1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1 Найдите АР: РА1.

Решение. Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В1, так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из од­ной точки, введем обозначения (см. рисунок)

Решение. Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В1, так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из од­ной точки, введем обозначения (см. рисунок)

8- x + 5 – x = 4, x

Значит,

В треугольнике АВА1, прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

Ответ: 70 : 9.

Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А1 и С1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Q лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение BQ : QB1

Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А1 и С1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Q лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение BQ : QB1

Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В1 не совпадает с точкой касания.

Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В1 не совпадает с точкой касания.

1) Пусть С1В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок):

(13 – х) + (12 – х) = 9, х = 8.

Значит, С1В = 8, АС1 = 5.

2) По формуле Герона: S =

S =

3) Из треугольника ABB1 (прямоугольного) по теореме Пифагора :

4) В треугольнике ABB1 прямая CC1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая:

Ответ: 162 : 35.

Задача 9. Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T - точки пересечения прямой ВR с прямыми АQ и АP соответственно.

Решение. Обозначим BP = x, AR = y; тогда PQ = 2x, QC = 3x, RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ, а значит, и от площади треугольника ABC. Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая:

Решение. Обозначим BP = x, AR = y; тогда PQ = 2x, QC = 3x, RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ, а значит, и от площади треугольника ABC. Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая:

Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR, получим:

Далее:

C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC, получим, что

C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC, получим, что

Ответ: .

Задача 10. В треугольнике АВС длина высоты ВD равна 6, длина медианы СE равна 5, расстояние от точки пересечения ВD с СE до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.

Задача 10. В треугольнике АВС длина высоты ВD равна 6, длина медианы СE равна 5, расстояние от точки пересечения ВD с СE до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.

Решение. Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE. Расстояние от точки О до середины AC(равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая:

Решение. Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE. Расстояние от точки О до середины AC(равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая:

Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD, получим, что

откуда OE = 2CO, и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора:

Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, в нем также воспользуемся теоремой Пифагора:

Ответ: .

Дополнительные задачи

  • В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С?
  • В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45.
  • В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4.

Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС - в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС.

  • Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС - в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС.
  • В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР < АТ. Прямые ВР и ВТ делят медиану АМ на три равные части. Найдите АС, если РТ=3.
  • В треугольнике АВС площади 18 проведены отрезки ВМ и АК, причем точки М и К делят соответственно стороны АС и ВС в отношении АМ:МС=3:4 и ВК:КС=2:7. Найдите площадь четырехугольника СМРК, где Р – точка пересечения отрезков ВМ и АК.
  • На сторонах треугольника АВС взяты точки М, К и Р такие, что АМ:МВ=ВК:КС=СР:РА=2:1. Отрезки СМ и ВР пересекаются в точке А1, АК и СМ - в точке В1, АК и ВР – в точке С1. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника А1В1С1 равна 1.

Заключение

Теорема Менелая проста в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теоремы Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий. Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

Список литературы

1.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002

2. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть I.

3. Володурин В.С. и др. Пособие по элементарной геометрии. Учебное пособие для студентов физико-математи­ческих специальностей педвузов. — Оренбург, 1991.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.

5. Б .Орач .Теорема Менелая. Квант № 3, 1991.

Спасибо за внимание!