Методическая разработка урока "Вычисление объемов тел вращения и многогранников методом коэффициентов" 11 класс


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Амбарнская средняя общеобразовательная школа
Методическая разработка урока геометрии в 11 классе
«Вычисление объемов тел вращения и многогранников методом
коэффициентов»
Учитель математики и информатики
Шабаева Мария Валерьевна
высшая квалификационная категория
Пояснительная записка
к уроку по теме: «Вычисление объемов тел вращения и
многогранников методом коэффициентов»
Вашему вниманию представлен урок в 11 классе. Данный метод в
учебнике не рассматривается, но является, очень прост в понимании, и
быстром запоминании. Урок можно провести после изучения темы «Объемы
тел вращения и многогранников».
ЦЕЛИ:
Образовательные:
1. Организовать деятельность учащихся по восприятию темы
«Вычисление объемов тел вращения и многогранников методом
коэффициентов» и первичному закреплению:
2. Создавать условия для создания в памяти учащихся системы опорных
знаний и умений.
3. Учить сравнивать, сопоставлять, анализировать, делать выводы,
развивать правильную математическую речь, целесообразную
вариативности математических упражнений, закрепить знания в
результате решения задач на применение метода коэффициентов;
Развивающие:
1. Развивать аналитико – синтезирующее мышления (способствовать
развитию наблюдательности, умению анализировать, развитие умений
классифицировать факты, делать обобщающие выводы).
2. Развивать абстрактное мышление (развитие умений выделять общие и
существенные признаки, отличать несущественные признаки и
отвлекаться от них).
3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю .
Воспитательные:
Воспитывать трудолюбие, внимательность; развитие интереса учащихся
к предмету математика, активизация мыслительной деятельности,
развитие математической речи, расширение математического кругозора у
учащихся, научить учащихся мыслить логически, быстро думать и
принимать правильные решения;
Достижение этих целей выполняется с помощью ряда задач:
1. Формирование умения сочетать знания и навыки, которые
обеспечивают успешное выполнение деятельности;
2. Вести работу над развитием связанной речи учащихся, умением
ставить и разрешать проблемы.
Оборудование урока:
На уроке использовалась самостоятельная работа, работа в парах, все
факты о геометрической фигуре конус были взяты учителем в Интернете с
официальных сайтов СМИ и переработаны специально для данного урока с
учётом темы урока. Мультимедийный проектор, флэш-ролик создан на сайте
Prezi.com.
Содержание урока:
Содержание урока соответствует программе и задачам урока.
Тип и структура урока:
Данный урок является уроком освоения новых знаний и навыков
поэтому рационально было применить элементы исследовательской
деятельности .
Реализация принципов обучения:
На уроке были реализованы принципы:
Научности обучения.
Принцип систематичности и последовательности в обучении был
осуществлён при постоянной опоре на ранее изученный материал.
Сознательность, активность и самостоятельность учащихся
достигалась в виде стимулирования познавательной активности с
помощью эффективных приёмов и средств наглядности (таких как
показ слайдов, предоставления сведений.
На уроке был реализован принцип комфортности.
Формы и методы обучения:
Во время урока были применены различные формы обучения это
индивидуальная и фронтальная работа, взаимопроверка. Такие формы более
рациональны для данного типа урока, так как позволяют ребёнку развивать
самостоятельность мышления, критичность мысли, способность отстаивания
своей точки зрения, умение сравнивать и делать выводы.
Метод наглядности флэш ролик представляет собой, картинку с
изображением кита, который окунается в огромное водное пространство, а
затем выныривает (трехмерная графика), подобно тому, что учащиеся
знакомятся, с новым метом решения задач ЕГЭ, отрабатывают навыки по его
применению вместе с учителем, и наконец, самостоятельно выполняют
задания.
Общие результаты урока:
Считаю, что задачи, поставленные на урок, реализованы, дети применяли
знания в новой ситуации, каждый мог высказать свою точку зрения.
Использование наглядности в виде флэш ролика, индивидуальных печатных
листов учащихся позволяет мотивировать учащихся на каждом этапе урока и
избегать перегрузки и переутомления учащихся
Тема « Вычисление объемов тел вращения и многогранников методом
коэффициентов»
Цель урока:
1. Познакомиться с методом коэффициентов при решении задач;
2. Учить сравнивать, сопоставлять, анализировать, делать выводы, развивать
правильную математическую речь, целесообразную вариативности математических
упражнений, закрепить знания в результате решения задач на применение метода
коэффициентов;
3. Воспитывать трудолюбие, внимательность; развитие интереса учащихся к
предмету математика, активизация мыслительной деятельности, развитие
математической речи, расширение математического кругозора у учащихся, научить
учащихся мыслить логически, быстро думать и принимать правильные решения;
Ход урока
Организационный момент
Здравствуйте!
Тема нашего урока« Вычисление объемов тел вращения и многогранников
методом коэффициентов»
Вычислить это значит получить число, ответ
Объем это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства,
ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями.
Вместимость или емкость выражается числом в кубических единицах
Тело вращения это объёмные тела, возникающие при вращении плоской
геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же
плоскости стр.
Многогранник это это часть пространства, ограниченная плоскими
многоугольниками --- гранями стр.
А с методом коэффициентов мы познакомимся позже. Откройте тетради. Запишите
число и тему урока.
Опрос. Сейчас я вам предлагаю повторить известные вам из курса геометрии некоторые
многогранники и тела вращения (Повторить известные многогранники и тела
вращения– определения и чертежи – заранее заготовленных карточках.)
Соедините стрелкой название фигуры с соответствующим чертежом. Слайд 1
Название
Чертеж
Прямоугольный параллелепипед
Пирамида
Сфера
Куб
Призма
Цилиндр
Какой фигуры здесь не хватает
Конус
Как вы думаете какая связь между картиной Шишкина "Корабельная роща" и
геометрическим телом, которое называется "конус". «konos» слайд 2
конус – «сосновая шишка» ( с греческого)
Дополнительная информация о конусе. Слайд 3
С конусом люди знакомы с глубокой древности.
В книге Архимеда (287–212 до н.э.) “ О методе”(найденной в 1906 г) , дается
решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров.
Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 г
до н.э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого
принципа Демокрит получил формулу для вычисления объема конуса.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским
(260–170 г до н.э.) учеником Евклида (III в. до н.э.) , который создал
великий труд из 15 книг под названием начала” . Эти книги издаются и по
сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1
000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы
везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. . Чем выше
громоотвод, тем больше объем такого конуса. Тем больше ваша безопасность
во время грозы
В физике встречается понятие “телесный угол. Это конусообразный угол,
вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1
стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади
части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник
света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от
киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.
В геологии существует понятие “конус выноса” . Это форма рельефа,
образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка),
вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую
широкую долину.
В биологии есть понятие “конус нарастания” . Это верхушка побега и корня
растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
“Конусаминазывается семейство морских моллюсков подкласса
переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов
свыше 500 видов. Некоторые улитки конусы – изощренные хищники. Они
подстерегая рыб, закапываются в песок и выставляют длинные хоботки,
похожие на червей. Хоботки – приманка для рыб. Конусы убивают жертву
сильным ядом и переваривают добычу в глотке-воронке, натягивая ее на
рыбу как чулок. Живут в тропиках и субтропиках. Укус конусов для человека
очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как
украшения, сувениры.
ЕГЭ задача на вычисление объема конуса (слайд4)
Как решить такую задачу.
В подобных задачах конус растягивают или сжимают по разным
направлениям. В результате чего объем новой конуса надо найти
Прежде всего запомним
Конус рассматривается в трехмерном пространстве. И все изменения
происходят по одной из трех осей. Ось ОХ, Ось OY, ось ОZ. (Слайд5)
Ось ОХ, Ось OY- это плоскость основания (В основании лежит круг- а это
фигура двумерная, поэтому если менять радиус, изменение идет в обе
стороны)
ось ОZ -это высота
конус растягивают или сжимают, варианты могут быть разными растягивать
или сжимать высоту, растягивать или сжимать основание
Растяжение –это увеличение(пружина)
Сжатие -это уменьшение(пружина)
Теорема: V
стар
объем фигуры, а,в,с- коэффициенты растяжения по
осям ОХ, OY, ОZ соответственно. Тогда V
новый
= V
стар
*а*в*с, если по
какой то оси происходит сжатие, то умножение заменяется делением.
(Слайд6)
Вернемся к задачи. Слайд4
Единственное, что надо научиться определять по какой оси и во сколько раз
происходит растяжение или сжатие. Вот этим мы с вами сейчас и займемся.
Как изменится объем конуса, если радиус основания уменьшить вдвое?
Уменьшиться В 4 раза
Как изменится объем конуса, высоту увеличить в 9 раз? Увеличиться в 9 раз
Как изменится объем конуса, если радиус основания увеличится в 3 раза, а
высоту уменьшить в 2 раз? В 4,5 раз
Как изменится объем конуса, если радиус основания увеличится в 3 раза, а
высоту уменьшить в 9 раз? Не измениться
Вернемся к нашей задачи
Задача: Конус имеет объем 50 см
3
. Высоту конуса уменьшили в 5 раз, а
радиус основания увеличили в 3 раза. В результате получился новый конус,
объем которого надо найти.
50/5*3*3=90см
3
на примере конуса мы рассмотрели эту теорему
А распространяется эта теорема на все виды многогранников и тела
вращения с которыми производят сжатие или растяжение.
Решение задач:
Вместе
Параллелепипед АВСДА
1
В
1
С
1
Д
1
имеет объем 35 см
3
. Ребро АВ увеличили в 2
раза, ребро АС увеличили в 5 раз, а ребро АА
1
уменьшили в 7 раз. Найдите
объем нового параллелепипеда. 35*2*5/7=50
Объем шара 0,75 м
3
. Какой объем будет занимать шар, если его радиус в 2 раза
больше.
0,75*2*2*2=6. Растяжение по всем 3 осям одинаково, если нет шар
приплюснутый, эллипсоид.
Объем цилиндра равен 20 см
3
. Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза,
а образующую уменьшили в 4 раза. Найдите объем получившегося цилиндра.
20*3*3/4= 45
Самостоятельная работа
Объём данного правильного тетраэдра равен 2 см
3
. Найдите объём
правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного
тетраэдра.
Объем первого цилиндра равен 81 м
3
. У второго цилиндра высота в 4 раза
больше, а радиус основания — в 3 раза меньше, чем у первого. Найдите объем
второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
Во сколько раз увеличиться объем шара, если его диаметр увеличить в 5 раз.
Бетонный шар весит 0,5. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего
радиуса, сделанный из такого же бетона.
В группах
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду.
Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень
воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания
в 2 раза больше, чем у первого? количество жидкости одинаково, значит
изменение объёма обратно пропорционально изменению высоты жидкости.
Если объем увеличиваем в 4 раза, высота уменьшается в 4 раза.12/4=3 см
Кубик весит 10 г. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3
раза больше, чем ребро первого кубика, оба кубика изготовлены из одного и
того же материала. 10*3*3*3=270 так как плотности равны масса прямо
пропорциональна объёму,
В сосуд имеющим форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты
сосуда. Сколько миллилитров нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его
доверху. 20*2*2*2=160, 160-20=140
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 384 см. На какой
высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй
цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого.
Объем сосуда увеличиться в 64 раза ,поскольку объем жидкости одинаковый и
Высота величина обратная площади основания, то высота уменьшиться в 64
раза.384/64=6.
На следующем уроке геометрии один представитель из группы познакомит
класс со своей задачей. Домашнее задание.
Итог урока. Мы с вами сегодня детально на примере тела вращения (конус)
рассмотрели теорему о вычислении объема методом коэффициентов, и
применение данной теоремы для других тел вращения и многогранников.
Еще раз напомню эту теорему можно применять, если с телом вращения или
многогранником производят сжатие или растяжение.
Рефлексия:
К оротко
О
Н ашем
У роке
С пасибо всем, за работу, за поддержку, за то что мне посчастливилось
работать с вами.