План-конспект урока "Система координат в пространстве. Простейшие задачи в координатах" 11 класс


План-конспект урока № 5. Геометрия 11 класс.
Система координат в пространстве. Простейшие задачи в координатах
Цели урока:
Изучить определение и свойства вектора системы координат в пространстве
Научить учащихся пользоваться этим определением на практике
Уметь находить координаты векторов, середина отрезка, сумму и разность
векторов
Повторение ранее изученного материала.
Формирование умения решать задачи.
Реализация принципов связи теории и практики.
Развитие памяти, речи, любознательности, познавательного интереса.
Ход урока.
1) Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны
6;4;4 (см. рисунок).
Определите координаты его вершин.
2.) Задача Координаты треугольной призмы
Вводим систему координат:
1. Начало координат в точке A;
2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии
задачи;
3. Ось x направляем по ребру AB, z по ребру AA
1
, а ось y расположим так, чтобы
плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.
Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как
многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC
равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°,
поэтому сверху картинка будет выглядеть так:
Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике
высоту CH. Треугольник ACH прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A =
cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.
:
3.) Задача Координаты четырехугольной пирамиды
Мы разберем только самый простой случай правильную четырехугольную пирамиду, все
ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут
отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.
Итак, правильная четырехугольная пирамида. Обозначим ее SABCD, где S вершина.
Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим
вдоль AB, ось y вдоль AD, а ось z вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для
дальнейших вычислений нам потребуется высота SH вот и построим ее. Получим
следующую картинку:
Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто:
в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S.
Поскольку SH высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z.
Собственно, длина отрезка SH это и есть координата z для точки S, поскольку
H = (0,5; 0,5; 0).
Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1,
а сторона AC общая). Следовательно, SH = BH. Но BH половина диагонали
квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:
Домашнее задание:
1.) Найти координаты вершин четырехугольной пирамиды, у которой в основании
квадрат со стороной 2, боковые ребра равны 4.
2.) Найти координаты треугольной призмы, в основании равносторонний треугольник со
стороной 3, боковые ребра равны 4