Презентация "Аксиомы планиметрии" 7 класс


Подписи к слайдам:
Аксиомы планиметрии

Презентация по геометрии учителя математики МКОУ СОШ №1 пгт. Палана Камчатский край Учебник геометрии 7 – 9. Авторы: Л.С. Атанасян и другие.

Геометрия Евклида

  • Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала” – сочинения александрийского математика Евклида.

В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).

  • В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).
  • Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости.
  • Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии.
  • «Начала»

Аксиомы планиметрии

  • Аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных.
  • Или :
  • Аксиомами называются утверждения, которые принимаются без доказательства.

  • Основные понятия (фигуры) на плоскости:
  • точка и прямая
  • Используя основные понятия и аксиомы даются определения новых понятий, формулируются и доказываются теоремы о свойствах геометрических фигур.

  • Аксиомы взаимного расположения точек и прямых:
  • 1.Каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки.
  • 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
  • 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

  • Аксиомы расположения точек на прямой:
  • 4. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  • 5. Каждая точка О прямой разделяет её на две части(два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.

  • Аксиома расположения точек на плоскости:
  • 6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.

  • Аксиомы наложения или равенства фигур.
  • Наложение – это отображение плоскости на себя.
  • Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф1, то говорят, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1, или фигура Ф равна фигуре Ф1.

  • Аксиомы наложения или равенства фигур:
  • 7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному и притом только один. 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

  • Аксиомы наложения или равенства фигур:
  • 10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1)так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k – с лучом k1; 2) так, что луч k совместится с лучом k1, а луч h – с лучом h1 . 11. Любая фигура равна сама себе.

  • Аксиомы наложения или равенства фигур:
  • 12. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.
  • 13. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.

  • Аксиомы измерения отрезков:
  • 14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
  • Аксиома существования отрезка данной длины:
  • 15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

  • Аксиома параллельных прямых:
  • 16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая параллельная данной.

Постулаты Евклида

  • 1. Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;
  • 2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;
  • 3. Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;
  • 4. Все прямые углы равны;
  • 5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых

О чем говорится в V постулате Евклида?

  • Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе менее 180°).

Аксиомы планиметрии

  • 1.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
  • 2.Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  • 3.Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  • 4.Прямая,принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
  • 5.Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180.Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом,проходящим между его сторонами.

Аксиомы планиметрии

  • 6.На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
  • 7.От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180,и только один.
  • 8.Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
  • 9.На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.