Презентация "Пирамида, вписанная в конус" 10 класс


Подписи к слайдам:
Сфера, вписанная в куб

Пирамида, вписанная в конус

  • Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды.
  • Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Упражнение 1

  • Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.
  • Ответ:

Упражнение 2

  • Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.
  • Ответ:

Упражнение 3

  • Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.
  • Ответ: 1.

Пирамида, описанная около конуса

  • Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду.
  • В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность.

Упражнение 1

  • Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.
  • Ответ:

Упражнение 2

  • Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.
  • Ответ: 2.

Упражнение 3

  • Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.
  • Ответ:

Сфера, вписанная в конус

  • Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы.
  • В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.
  • Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится по формуле
  • где S – площадь, p – полупериметр треугольника.

Упражнение 1

  • В конус, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, вписана сфера. Найдите ее радиус.
  • Решение. Треугольник SAB равносторонний. Высота SH равна Площадь S равна Полупериметр p равен 3. По формуле r = S/p получаем

Упражнение 2

  • В конус, радиус основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту конуса.
  • Решение. Обозначим h высоту SH конуса. Из формулы r = S/p имеем:
  • где r = 1, a = FG = 4, p =
  • Решая уравнение
  • находим

Упражнение 3

  • Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус вписанной сферы.
  • Ответ:
  • Решение. Высота SH конуса равна 1. Образующая .
  • Полупериметр p равен
  • По формуле r = S/p, имеем

Упражнение 4

  • Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы.
  • Ответ: r = 3.
  • Решение. Радиус основания конуса равен 6. Площадь треугольника SFG равна 48, полупериметр 16. По формуле r = S/p имеем r = 3.

Упражнение 5

  • Можно ли вписать сферу в наклонный конус?
  • Ответ: Нет.

Сфера, вписанная в усеченный конус

  • Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы.
  • В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.

Упражнение 1

  • В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 1, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту усеченного конуса.
  • Решение. Имеем: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Следовательно, A1A2 = 3, A1C = 1.
  • Таким образом,

Упражнение 2

  • В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите радиус второго основания.
  • Решение. Пусть A1O1= 2. Обозначим r = A2O2. Имеем: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. По теореме Пифагора, имеет место равенство из которого следует, что выполняется равенство Решая полученное уравнение относительно r, находим

Упражнение 3

  • В усеченном конусе радиус большего основания равен 2, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60о. Найдите радиус вписанной сферы.
  • Решение. Заметим, что осевым сечением конуса, из которого получен усеченный конус, является равносторонний треугольник со стороной 2. Радиус r сферы, вписанной в усеченный конус, равен радиусу окружности, вписанной в этот равносторонний треугольник, т.е.

Упражнение 4

  • Образующая усеченного конуса равна 2, площадь осевого сечения 3. Найдите радиус вписанной сферы.
  • Ответ:
  • Решение. Воспользуемся формулой r = S/p, где S – площадь осевого сечения, p – полупериметр. В нашем случае S = 3. Для нахождения полупериметра напомним, что для четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны. Значит, полупериметр равен удвоенной образующей цилиндра, т.е. p = 4. Следовательно, r = ¾.

Упражнение 5

  • Можно ли вписать сферу в усеченный наклонный конус.
  • Ответ: Нет.

Сфера, описанная около конуса

  • Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу.
  • Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса.
  • Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, находится по формуле
  • где S – площадь, a, b, c – стороны треугольника.

Упражнение 1

  • Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.
  • Решение. Треугольник SAB равносторонний со стороной 2. Высота SH равна Площадь S равна По формуле R = abc/4S получаем

Упражнение 2

  • Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса.
  • Решение. Имеем, OB = 5, HB = 4. Следовательно, OH = 3. Учитывая, что SO = OB = 5, получаем h = 8.
  • Ответ: h = 8.

Упражнение 3

  • Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус описанной сферы.
  • Ответ: R = 1.
  • Решение. Треугольник SAB – прямоугольный, равнобедренный. Следовательно, радиус R описанной сферы равен радиусу основания цилиндра, т.е. R = 1.

Упражнение 4

  • Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы.
  • Решение. В треугольнике SAB имеем: SA = SB = 10, SH = 8. По теореме Пифагора, AH = 6 и, следовательно, S = 48. Используя формулу R = abc/4S, получаем

Упражнение 5

  • Можно ли описать сферу около наклонного конуса?
  • Ответ: Да.

Сфера, описанная около усеченного конуса

  • Сфера называется описанной около усеченного конуса, если окружности оснований усеченного конуса лежат на сфере. При этом усеченный конус называется вписанным в сферу.
  • Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы.

Упражнение 1

  • Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.
  • Решение. Заметим, что A1O1B2O2 и O1B1B2A2 – ромбы. Треугольники A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 – равносторонние и, значит, A1B1 –диаметр. Следовательно, R =2.
  • Ответ: R = 2,

Упражнение 2

  • Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1, образующая равна 2 и составляет угол 45о с плоскостью другого основания. Найдите радиус описанной сферы.
  • Решение. Имеем A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = , OO1 = O1C = 1. Следовательно, OO2 = 1 + и, значит,

Упражнение 3

  • Радиус одного основания усеченного конуса равен 4, высота 7, радиус описанной сферы 5. Найдите радиус второго основания усеченного конуса.
  • Решение. Имеем OO1 = 3, OO2 = 4 и, следовательно, O2A2 = 3.
  • Ответ: 3.

Упражнение 4

  • Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 4, а высота равна 5.
  • Учитывая, что O1O2 = 6, имеем равенство
  • Решая его относительно R, находим
  • Решение. Обозначим R радиус описанной сферы. Тогда

Упражнение 5

  • Можно ли описать сферу около усеченного наклонного конуса.
  • Ответ: Нет.