Презентация "Перпендикуляр и наклонная" 10 класс скачать бесплатно


Презентация "Перпендикуляр и наклонная" 10 класс


Подписи к слайдам:
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

  • Пусть точка A не принадлежит плоскости π. Проведем прямую a, проходящую через эту точку и перпендикулярную π. Точку пересечения прямой a с плоскостью π обозначим O. Отрезок AO называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость π.
  • Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной называют также отрезок, соединяющий точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости, и не являющийся перпендикуляром.

Теорема о перпендикуляре и наклонной

  • Теорема. Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.
  • Доказательство. Пусть AB – наклонная к плоскости α, AO – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость, OB-ортогональная проекция. Треугольник AOB прямоугольный, AB – гипотенуза, AO – катет. Следовательно, AO < AB.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

  • Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
  • Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Теорема о трех перпендикулярах

  • Теорема. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна ортогональной проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной.
  • Доказательство. Т.к.АО - перпендикуляр к плоскости α, то АО перпендикулярна прямой а плоскости α. Прямая а плоскости α перпендикулярна проекции OB наклонной АВ. Тогда она будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым OB и AO. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АOВ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ, принадлежащей этой плоскости.
  • Дано:
  • Д-ть:

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

  • Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.
  • Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

Упражнение 1

  • Верно ли утверждение: «Если из одной точки, не принадлежащей плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?
  • Ответ: Да.

Упражнение 2

  • К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка S этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника?
  • Ответ: Да.

№45.13

  • Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.
  • Укажите все прямые углы.
  • Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

Упражнение 3

  • Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.
  • Ответ: 12 см.

№45.15 – из д/з

  • Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, BAC = 60°.
  • Ответ: 12 см.

№45.16 –д/з

  • Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AB, если AC = см, BC = 3AB.
  • Ответ: 2 см.
  • Комментарий:

№45.17

  • Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.
  • Ответ: 9 см.

Упражнение 5

  • Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны a, b, c.
  • Ответ:

Упражнение 6

  • В кубе найдите угол между: а) диагональю боковой грани и плоскостью основания; б) диагональю куба и плоскостью основания; в) диагональю боковой грани и диагональным сечением.
  • Ответ: а) 45о;
  • в) 30о.
  • б) sin  = ;
  • а)
  • б)
  • в)
  • К

  • Упражнение 4 (Пример 2. с. 362)
  • В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC.
  • Ответ:
  • Решение. Пусть E – середина ребра BC. Искомый угол равен углу DAE. В треугольнике DAE имеем: AD = a, AE = DE =
  • Используя теорему косинусов, получим
  • О
  • 2способ

Упражнение 7 (Пример 3. с. 362)

  • Отрезок BC длиной 12 см является проекцией отрезка AC на плоскость . Точка D принадлежит отрезку AC и AD:DC = 2:3. Найдите отрезок AD и его проекцию на плоскость , если известно, что AB = 9 см.
  • Ответ: 6 см; 4,8 см.
  • D
  • H

Упражнение 8

  • В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро b. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
  • Ответ: cos  = .

Упражнение 9

  • Через сторону квадрата проведена плоскость, составляющая с диагональю квадрата угол 30°. Найдите углы, которые образуют с плоскостью стороны квадрата, наклонные к ней.
  • Ответ: 45о.

№45.18

  • Дан прямоугольный треугольник ABC, катеты которого AC и BC равны соответственно 20 и 15 см. Через вершину A проведена плоскость , параллельная прямой BC. Проекция одного из катетов на эту плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.
  • Ответ: см.

№45.19

  • Сторона ромба равна a, острый угол 60°. Через одну из сторон ромба проведена плоскость. Проекция другой стороны на эту плоскость равна b. Найдите проекции диагоналей ромба.
  • Ответ: b и .