Презентация "Четыре замечательные точки треугольника" 8 класс


Подписи к слайдам:
Четыре замечательные точки треугольника

Четыре замечательные точки треугольника

  • высоты
  • биссектрисы
  • серединные перпендикуляры
  • медианы

Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла

  • Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла
  • равноудалена от его сторон.
  • А
  • Х
  • М
  • В
  • С
  • Е
  • К
  • Дано: ВАС, АХ – биссектриса,
  • М є АХ, МЕ АВ, МК АС
  • Доказать: МЕ = МК
  • Теорема 2 ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
  • Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла –
  • множество точек плоскости,
  • равноудалённых от сторон этого угла.

Серединный перпендикуляр к отрезку

  • Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
  • равноудалена от его концов.
  • Дано: АВ – отрезок,
  • РК – серединный перпендикуляр,
  • М є РК
  • Доказать: МА = МВ
  • А
  • В
  • Р
  • К
  • М
  • Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на
  • серединном перпендикуляре к нему.
  • Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку –
  • множество точек плоскости,
  • равноудалённых от его концов.

Первая замечательная точка треугольника

  • Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  • Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы,
  • О - точка их пересечения
  • Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ
  • Доказательство:
  • АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС,
  • значит, ОМ = ОК
  • ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = ОP
  • Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно,
  • О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС.
  • Е
  • Т
  • А
  • В
  • С
  • О
  • У
  • Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника.
  • К
  • М
  • Р

Вторая замечательная точка треугольника

  • Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
  • пересекаются в одной точке.
  • Дано: АВС, k,n – серединные
  • перпендикуляры к сторонам
  • треугольника,
  • О – точка их пересечения
  • Доказать: р – серединный
  • перпендикуляр к ВС, О є р
  • Доказательство:
  • n – серединный перпендикуляр к АС и О є n, значит, ОА = ОС.
  • k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ.
  • Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном
  • перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р.
  • Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p.
  • А
  • В
  • С
  • k
  • n
  • p
  • О

  • Вторая замечательная точка треугольника (продолжение)
  • Ещё возможное расположение:

Третья замечательная точка треугольника

  • Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
  • которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от
  • вершины.
  • (центр тяжести треугольника – центроид)
  • А
  • В
  • С
  • М
  • К
  • Р
  • О
  • Дано: АВС, AM,ВК,СР - медианы
  • Доказать: АМ ВК СР = О
  • Доказательство проведено ранее:
  • задача 1 п. 62.

Четвёртая замечательная точка треугольника

  • Теорема. Высоты треугольника или их продолжения
  • пересекаются в одной точке(ортоцентр).
  • Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.
  • Дано: АВС, АК, ВН, СМ - высоты
  • М
  • А
  • С(К,Н,О)
  • В
  • А
  • В
  • С
  • Н
  • М
  • К
  • О
  • В
  • С
  • А
  • Н
  • К
  • М
  • О

  • Доказательство:
  • А
  • В
  • С
  • К
  • М
  • Н
  • О
  • Получим:
  • АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ
  • Е
  • Т
  • У
  • АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ
  • Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ.
  • Т.к. ВН – высота АВС по условию, то ВН АС
  • Т. к. ЕТ АС по построению, значит, ВН ЕТ
  • Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ.
  • Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУ
  • и АК - серединный перпендикуляр к УЕ.
  • Т. е. ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам ЕТУ,
  • проведём ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ.
  • Через вершины В, А, С треугольника АВС
  • которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке,
  • значит, высоты АВС пересекаются в одной точке.

  • Задача № 680.
  • А
  • В
  • С
  • D
  • К
  • М
  • Дано: АВС, АМ = ВМ, МD AB,
  • AK = KC, DK AC, D є BC.
  • Доказать: D - середина ВС,
  • А = В + С.
  • Доказательство:
  • AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC
  • BD = DC,
  • следовательно, D – середина ВС.
  • АМ = ВМ, МD AB,
  • D є BC по условию, значит, ВD = AD
  • а)
  • б) По доказанному
  • ВD = AD
  • AD = DC, значит, треугольники АВD
  • и
  • и АСD – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С.
  • 1
  • 2
  • ВАС = 1 + 2 = В + С, что и т. д.