Презентация "Малоизвестные теоремы планиметрии"


Подписи к слайдам:
Неизвестные теоремы планиметрии

МАЛОИЗВЕСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

  • Учитель математики Потапова Ф.Ф. . 2014-2015 уч. год.
  • Методическая разработка

§ Медиана прямоугольного треугольника.

  • Теорема. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  • Теорема (обратная). Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Пример: Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС.

  • Пример: Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС.
  • Окружность, вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD, в его середине.
  • Найдите острые углы треугольника ABC.
  • Решение.
  • Пусть L – точка касания вписанной окружности с DC;
  • K – точка касания вписанной окружности с AD;
  • M – точка касания вписанной окружности с AC.
  • ∆ADC – равнобедренный, т.к. DC – медиана прямоугольного треугольника.
  • Известно, что DL=LC. При этом KD=DL
  • AK=LC, т.к. ∆ADC – равнобедренный.
  • AK=AM, MC=LC – как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки.
  • Тогда KD=DL=LC=MC=AK=AM, то есть треугольник равносторонний.
  • Тогда AD=DC=AC, DAC= DCA= ADC=60˚.
  • Таким образом, в ∆ABC A=60˚
  • B=90˚- 60˚=30˚
  • Ответ: 60˚, 30˚.

Пример. Через основание биссектрисы AD равнобедренного треугольника ABC с вершиной

  • Пример. Через основание биссектрисы AD равнобедренного треугольника ABC с вершиной
  • В проведен перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающей прямую АС в точке Е.
  • Найдите отрезок АЕ, если известно, что СD=4.
  • Решение.
  • Отметим середину М отрезка AE. Отрезок DM – медиана прямоугольного треугольника ADE,
  • проведенная из вершины прямого угла, поэтому AM=DM=ME.
  • Обозначим,
  • значит, треугольник CDM равнобедренный. Следовательно, AE=2DM=2DC=8.
  • Ответ: 8.

§ Биссектриса.

  • Утверждение. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.
  • Доказательство.
  • Пусть М – точка пересечения продолжения биссектрисы АК треугольника АВС с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник АСК подобен треугольнику АМВ по двум углам. Поэтому
  •  
  • Следовательно,
  • (

§ Пересекающиеся окружности.

  • Утверждение. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам.
  • Доказательство.
  • Пусть АВ общая хорда пересекающихся окружностей с центрами Точки равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, чтд.

§ Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником.

  • Утверждение 1. Если вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М, то АМ=р-а, где р – полупериметр треугольника АВС, а а=ВС.
  • Доказательство. Обозначим АС=b, AB=c. Пусть К и L – точки касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС соответственно. Тогда,
  • откуда

Утверждение 2. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС, продолжения стороны АВ в точке N и продолжения стороны АС, то АN=р, где р – полупериметр треугольника.

  • Утверждение 2. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС, продолжения стороны АВ в точке N и продолжения стороны АС, то АN=р, где р – полупериметр треугольника.
  • Доказательство. Пусть окружность касается стороны ВС в точке Р, а продолжения стороны АС – в точке Q. Тогда
  • откуда AN=p.

Утверждение. Если р – полупериметр треугольника , r – радиус его вписанной окружности, а – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной а, то

  • Утверждение. Если р – полупериметр треугольника , r – радиус его вписанной окружности, а – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной а, то
  • Доказательство (формулы 2). Обозначим BC=a, AC=b, AB=c. Пусть - центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны ВС; P, N и Q – точки касания этой окружности со стороной ВС и продолжениями сторон АВ и АС соответственно. Тогда
  • , чтд.