Конспект урока "Нестандартные методы решения задач на движение" 8-10 класс


Нестандартные методы решения задач на движение.
1. Цели:
- обобщить и систематизировать знания по следующим темам: квадратные
уравнения, дробно-рациональные уравнения, текстовые задачи, подобные
треугольники;
научить решать задачи на движение методом подобия;
развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление,
внимание, наблюдательность;
развивать межпредметные связи (геометрия, физика).
2. Оборудование и материалы.
1) Плакат с заданием к дидактической игре;
ответы к заданиям;
таблица соответствия ответов буквам.
2) Плакат с подобными треугольниками к устному заданию.
3) Плакат с чертежом к задаче №1 (зависимость расстояния от времени
движения).
4) Листы с планом урока, заданиями, которые выполняются на уроке и
домашним заданием – на каждого ученика (Приложение 1, Приложение 2).
5) Плакаты с высказываниями Д. Пойа о математике.
Необходимые материалы можно оформить в виде презентации.
3. Литература.
1. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.Макарычев,
Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С.А.Теляковского. –
М.:Просвещение, 2002.
2. Текстовые задачи: 7-11 классы: Учебное пособие по математике/ А.В. Шевкин.
М.: «ТИД «Русское слово – РС», 2003.
3. Журнал «Наука и жизнь», 12, 2000г.
4. Структура урока.
1. Мотивационная беседа, постановка цели.
2. Актуализация опорных знаний:
дидактическая игра (решение квадратных уравнений), взаимопроверка в парах.
устная работа: повторение подобных треугольников.
3. Краткий рассказ о математике В.И.Арнольде и его задаче («Задача о
старушках»).
4. Решение задачи №1 стандартным методом.
5. Объяснение метода подобия на примере решения задачи №1.
6. Закрепление материала: решение задачи №2 («задача о старушках») методом
подобия.
(Пояснение: стандартным методом эта задача решена на предыдущем уроке, в
домашнем задании ребятам предлагается решить её методом пропорциональных
отрезков).
7. Объяснение домашнего задания (на листе). (Приложение 2)
8. Подведение итогов урока.
5. Ход урока.
1. Сегодня на уроке вы познакомитесь с новым для вас способом решения задач
на движение: методом подобия, научитесь применять этот способ при
решении задач. Для этого вам понадобятся умение решать квадратные
уравнения, дробно-рациональные уравнения, а из геометрии – умение
различать подобные треугольники и их свойства. Повторим эти понятия.
2. 1) Дидактическая игра.
Решить по вариантам квадратные уравнения (на листе), напротив каждого
уравнения записать ответ, вычисления выполнять в тетрадях.
1
2
0; 2
0
0;
-6; 5
-5; 6
А
Р
Н
О
Л
Ь
Д
2) Назовите все пары подобных треугольников.
3. Владимир Игоревич Арнольд известный учёный-математик, академик,
преподаватель МГУ. В течении 40 лет он вёл семинары по математике для
всех интересующихся математикой в Москве и Париже. На этих занятиях он
2 вариант
К
;
С
Нет решения
А
1
Р
2
Ь
5; 6
Д
6; 5
Н
0; 2
Л
0;
О
0
О
0
И
2;
Е
2;
формулировал десятки задач из серии нерешённых проблем, которые
хотелось бы решить. Иногда проходят годы, прежде чем какая-то задача
будет решена. А у самого Владимира Игоревича интерес к математике
появился рано, в пятом классе. Учитель задал на дом интересную задачу,
которую смог решить один Володя. Какая же это задача?
«…Прекрасная задача, замечательная! На меня она произвела сильнейшее
впечатление. Позже я делал разные математические открытия, но
удовольствие получал точно такое же, как тогда в пятом классе, когда я
нашёл решение задачки со старушками…» («Наука и жизнь», №12, 2000г.)
Да, ребята, речь идёт о той самой задаче о старушках, которую вы решили на
прошлом уроке стандартным методом. А сегодня вам предстоит решить её
новым методом.
4. Задача №1.
Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5
часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов
навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За
сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?
Первоначально решим эту задачу стандартным способом с помощью
таблицы (таблица уже заготовлена на листе и на доске с заданиями для
экономии времени).
V, км/ч
T, ч
S, км
1 пешеход
x
1
2 пешеход
х + 5
1
Вместе
6
1
Составим уравнение:
+ = , ОЗ: 6х(х + 5), ОДЗ: х > 0 по смыслу задачи.
= 0,
х
1
= 10, х
2
= -3 не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 10 часов и 15 часов.
5. Метод подобия.
Пусть первый пешеход может пройти всё расстояние за х часов, тогда второй
за (х + 5) часов. Построим графики движения этих пешеходов. (Так как
движение равномерное, то графики являются отрезками).
P
Отрезки СD и АВ показывают промежутки времени движения от одного
пункта до другого первого и второго пешеходов соответственно. Отрезок
MN изображает промежуток времени движения пешеходов до встречи.
Поэтому:
CD = x; AB = x + 5; MN = 6; KD = x 6; PB = x -1.
Так как Δ CKN Δ BPN и ΔDKN Δ APN по двум углам, то и, то есть , .
Получим уравнение:
(х – 1)(х – 6) = 36
= 0
Корни этого уравнения мы уже получили.
6. Решим теперь этим методом задачу о старушках.
Из города А в город В и из города В в город А на рассвете одновременно
вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом продолжили свой
путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая – в 9 вечера.
Вопрос: в каком часу расcвело в этот день?
7. Итог урока.
8. Домашнее задание.
1) Разобрать метод пропорциональных отрезков на примере решения задачи №2..
Пусть скорость первой старушки в х раз больше скорости второй старушки. Тогда
на одном и том же участке пути первая тратит в х раз меньше времени, чем вторая,
а вторая – в х раз больше, чем первая. До встречи они шли одинаковое время,
поэтому
, , х > 0, значит х = 1,5.
До встречи они шли 4 · 1,5 = 6 (ч), то есть вышли из городов в 6 часов утра.
2) Ответить на вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь?
(Посоветоваться с учителем географии).
3). Решить задачи методом подобия.
1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В,
расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они
продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше,
чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.
(Подсказка: найдите сначала, сколько в пути был первый велосипедист после
встречи).
2. Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала
легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В.
Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже
проехала всего ⅔ пути? (3), №261.
Приложение 1.
Тема урока: «Нестандартные методы решения
задач на движение».
Вариант 1.
1. Решите уравнения.
3. Задача 1. Из города А в город В и из города В в город А на рассвете
одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом
продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая в 9
вечера.
Вопрос: в каком часу расцвело в этот день?
1) Первый способ.
2) Второй способ.
1 вариант
К
А
Ь
Н
О
И
V, км/ч
T, ч
S
1 старушка
2 старушка
Вместе
3) Третий способ .
Тема урока: «Нестандартные методы решения задач на движение».
Вариант 2.
1. Решите уравнения.
2. Задача 1 Из города А в город В и из города В в город А на рассвете одновременно
вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом продолжили свой путь.
Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая – в 9 вечера.
Вопрос: в каком часу расcвело в этот день?
1) Первый способ.
2) Второй способ.
2 вариант
С
Р
Д
Л
О
Е
.
V, км/ч
T, ч
S
1 старушка
2 старушка
Вместе
3) Третий способ.
Дополнительные задания.
Задание 4
Задача 2. Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5
часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу
друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За сколько часов каждый
из них может пройти это расстояние?
Задание 5.
1. Задача из экзамена за 9 класс.
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В,
расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они
продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше,
чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.
(Подсказка: найдите сначала, сколько времени в пути был первый велосипедист
после встречи).
2.Задача из вступительного экзамена в МИФИ (1994)г.
Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала
легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В.
Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже
проехала всего ⅔ пути?
Задание 6. Ответьте на вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь?
Приложение 2.
Домашнее задание.
1) Разобрать метод пропорциональных отрезков на примере решения задачи №2..
Пусть скорость первой старушки в х раз больше скорости второй старушки. Тогда
на одном и том же участке пути первая тратит в х раз меньше времени, чем вторая,
а вторая – в х раз больше, чем первая. До встречи они шли одинаковое время,
поэтому
, , х > 0, значит х = 1,5.
До встречи они шли 4 · 1,5 = 6 (ч), то есть вышли из городов в 6 часов утра.
Решить этим способом задачу №1.
2) Ответить на вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь?
(Посоветоваться с учителем географии).
3). Решить задачи методом подобия.
1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В,
расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они
продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше,
чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.
(Подсказка: найдите сначала, сколько в пути был первый велосипедист после
встречи).
2. Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала
легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В.
Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже
проехала всего ⅔ пути? (3).