Презентация "Двугранный угол" 10-11 класс


Подписи к слайдам:
PowerPoint Presentation

  • Двугранный угол
  • Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11"

  • Планиметрия
  • Стереометрия
  • Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.
  • Двугранный угол
  • А
  • В
  • С
  • А
  • В
  • С

  • Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
  • Две полуплоскости – грани двугранного угла
  • Прямая a – ребро двугранного угла
  • a

  • O
  • Угол РDEK
  • Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла
  • А
  • В
  • N
  • Р
  • M
  • К
  • D
  • E
  • Угол SFX – линейный угол двугранного угла
  • S
  • X
  • F

  • Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
  • D
  • E
  • Р
  • К
  • O
  • Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
  • Алгоритм построения линейного угла.

  • Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
  • А
  • В
  • O
  • А1
  • В1
  • O
  • 1
  • Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены
  • Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены
  • Углы АОВ и А1О1В1 равны,
  • как углы с сонаправленными сторонами

  • Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

  • Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
  • Треугольник АВС – равнобедренный.
  • А
  • С
  • В
  • N
  • П-р
  • Н-я
  • П-я
  • TTП
  • АС ВМ
  • H-я
  • АС NМ
  • П-я
  • Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК
  • К
  • M

  • Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
  • Треугольник АВС – прямоугольный.
  • А
  • В
  • N
  • П-р
  • Н-я
  • П-я
  • TTП
  • АС ВС
  • H-я
  • АС NС
  • П-я
  • Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК
  • К
  • С

  • Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.

  • Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты,
  • плоскости стены и потолка.

  • Признак перпендикулярности двух плоскостей.
  • Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
  • А
  • В
  • С
  • D

  • Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой,
  • по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.
  • a

  • Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости , перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости .
  • № 178.
  • c
  • A
  • a
  • b
  • Признак перпендикулярности прямой и плоскости
  • c
  • B
  • C
  • Подсказка

  • Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
  • № 180.
  • c
  • b
  • a
  • a
  • b
  • Признак параллельности прямой и плоскости
  • Подсказка

  • Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а.
  • № 181.
  • С
  • А
  • В
  • М
  • a

  • Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник.
  • № 182.
  • a
  • С
  • А
  • В
  • М

  • Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости .
  • № 183.
  • a

  • Прямоугольный параллелепипед
  • Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

  • Прямоугольный параллелепипед
  • Две грани параллелепипеда параллельны.

  • 10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть
  • граней – прямоугольники.
  • 20. Все двугранные углы прямоугольного
  • параллелепипеда – прямые.
  • Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

  • Планиметрия
  • Стереометрия
  • В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений.
  • А
  • В
  • С
  • D
  • d
  • a
  • b
  • d2 = a2 + b2
  • Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов
  • трех его
  • измерений.
  • d2 = a2 + b2 + с2
  • a
  • b
  • с
  • d

  • d
  • C
  • а
  • b
  • с
  • B
  • A
  • D
  • B1
  • C1
  • D1
  • A1
  • Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
  • Следствие.
  • Диагонали прямоугольного
  • параллелепипеда равны.
  • d2 = a2 + b2 + с2

  • Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.
  • № 188.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • А1
  • D1
  • С1
  • В1
  • d2 = a2 + b2 + с2
  • d = 3a2
  • d2 = 3a2
  • d = a 3
  • d = a 3
  • а
  • а
  • а

  • Найдите расстояние от вершины куба до плоскости
  • любой грани, в которой не лежит эта вершина, если:
  • а) диагональ грани куба равна m.
  • б) диагональ куба равна d.
  • № 189.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • D1
  • С1
  • m
  • Н
  • А
  • Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра
  • Подсказка
  • В1
  • А1

  • Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:
  • a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина
  • ребра А1D1.
  • № 190.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • А1
  • D1
  • С1
  • В1
  • K

  • Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что плоскости
  • АВС1 и А1В1D перпендикулярны.
  • № 191.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • А1
  • D1
  • С1
  • В1

  • Найдите тангенс угла между диагональю куба и
  • плоскостью одной из его граней.
  • № 192.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • А1
  • D1
  • С1
  • В1
  • Подсказка
  • Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
  • П-Р
  • Н-я
  • П-я
  • Н
  • А
  • М
  • П-Р
  • Н-я
  • П-я

  • № 193.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • А1
  • D1
  • С1
  • В1
  • Подсказка
  • Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
  • Найдите расстояние между:
  • а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС;
  • a II
  • a
  • Расстояние от произвольной точки
  • прямой до плоскости называется расстоянием
  • между прямой и параллельной ей плоскостью
  • n
  • d
  • m

  • № 193.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • А1
  • D1
  • С1
  • В1
  • Подсказка
  • Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1
  • Найдите расстояние между:
  • б) плоскостями АВВ1 и DCC1;
  • n
  • d
  • m
  • II
  • Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется
  • расстоянием между параллельными плоскостями.

  • № 193.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • А1
  • D1
  • С1
  • Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
  • Найдите расстояние между:
  • в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.
  • n
  • d
  • m
  • Подсказка
  • a II
  • a
  • Расстояние от произвольной точки
  • прямой до плоскости называется расстоянием
  • между прямой и параллельной ей плоскостью
  • В1

  • Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими:
  • а) диагональ куба и ребро куба;
  • № 194.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • D1
  • С1
  • а
  • В1
  • А1
  • a II
  • Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
  • a
  • b
  • a b
  • Подсказка

  • Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими:
  • б) диагональ куба и диагональ грани куба.
  • № 194.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • D1
  • С1
  • а
  • В1
  • А1
  • a II
  • Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
  • a
  • b
  • a b
  • Подсказка

  • № 196.
  • D
  • В
  • D1
  • С1
  • Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
  • сечение плоскостью, проходящей через:
  • а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1;
  • А
  • А1
  • С
  • В1

  • № 196.
  • Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
  • сечение плоскостью, проходящей через:
  • б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1.
  • D
  • В
  • D1
  • С1
  • А
  • А1
  • В1
  • С

  • D
  • А
  • В
  • С
  • А1
  • D1
  • С1
  • В1
  • 1. Найдите угол А1ВС1
  • 2. Доказать, что MN II А1С1, где M и N – середины ребер куба.
  • N
  • M

  • Найдите площадь сечения, проходящего
  • через точки А, В и С1
  • D
  • В
  • D1
  • С1
  • А
  • А1
  • В1
  • С
  • 7
  • 8
  • 6

  • Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
  • Треугольник АВС – тупоугольный.
  • А
  • В
  • N
  • П-р
  • Н-я
  • П-я
  • TTП
  • АС ВS
  • H-я
  • АС NS
  • П-я
  • Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК
  • К
  • С
  • S

  • Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
  • АВСD – прямоугольник.
  • А
  • В
  • N
  • П-р
  • Н-я
  • П-я
  • TTП
  • DС BС
  • H-я
  • DС NС
  • П-я
  • Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК
  • К
  • С
  • D

  • Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
  • АВСD – параллелограмм, угол С острый.
  • А
  • В
  • П-р
  • П-я
  • TTП
  • DС ВM
  • H-я
  • DС NM
  • П-я
  • Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
  • К
  • С
  • D
  • N
  • Н-я
  • M

  • Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
  • АВСD – параллелограмм, угол С тупой.
  • А
  • В
  • П-р
  • П-я
  • TTП
  • DС ВM
  • H-я
  • DС NM
  • П-я
  • Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
  • К
  • С
  • D
  • Н-я
  • M
  • N

  • Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
  • АВСD – трапеция, угол С острый.
  • А
  • В
  • П-р
  • П-я
  • TTП
  • DС ВM
  • H-я
  • DС NM
  • П-я
  • Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
  • К
  • С
  • D
  • Н-я
  • M
  • N

  • Неперпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой МN. В плоскости из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC.
  • № 166.
  • M
  • N
  • А
  • С
  • В
  • П-р
  • Н-я
  • П-я
  • TTП
  • МN АB
  • H-я
  • MN ВС
  • П-я
  • Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC

  • С
  • А
  • В
  • D
  • M
  • В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD.
  • № 167.

  • Двугранный угол равен . На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
  • № 168.
  • В
  • d
  • N
  • А
  • ?

  • Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 1800.
  • № 169.
  • F
  • В
  • А
  • О