Презентация "Двугранный угол" 10-11 класс

• Двугранный угол

• Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11"

• Планиметрия

• Стереометрия

• Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.

• Двугранный угол

• А

• В

• С

• А

• В

• С

• Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.

• Две полуплоскости – грани двугранного угла

• Прямая a – ребро двугранного угла

• a

• O

• Угол РDEK

• Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла

• А

• В

• N

• Р

• M

• К

• D

• E

• Угол SFX – линейный угол двугранного угла

• S

• X

• F

• Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.

• D

• E

• Р

• К

• O

• Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

• Алгоритм построения линейного угла.

• Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

• А

• В

• O

• А1

• В1

• O

• 1

• Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены

• Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены

• Углы АОВ и А1О1В1 равны,
• как углы с сонаправленными сторонами

• Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

• Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
• Треугольник АВС – равнобедренный.

• А

• С

• В

• N

• П-р

• Н-я

• П-я

• TTП

• АС ВМ

• H-я

• АС NМ

• П-я

• Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

• К

• M

• Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
• Треугольник АВС – прямоугольный.

• А

• В

• N

• П-р

• Н-я

• П-я

• TTП

• АС ВС

• H-я

• АС NС

• П-я

• Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

• К

• С

• Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.

• Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты,
• плоскости стены и потолка.

• Признак перпендикулярности двух плоскостей.
• Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

• А

• В

• С

• D

• Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой,
• по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.

• a

• Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости , перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости .

• № 178.

• c

• A

• a

• b

• Признак перпендикулярности прямой и плоскости

• c

• B

• C

• Подсказка

• Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

• № 180.

• c

• b

• a

• a

• b

• Признак параллельности прямой и плоскости

• Подсказка

• Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а.

• № 181.

• С

• А

• В

• М

• a

• Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник.

• № 182.

• a

• С

• А

• В

• М

• Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости .

• № 183.

• a

• Прямоугольный параллелепипед
• Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

• Прямоугольный параллелепипед

• Две грани параллелепипеда параллельны.

• 10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть
• граней – прямоугольники.
• 20. Все двугранные углы прямоугольного
• параллелепипеда – прямые.

• Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

• Планиметрия

• Стереометрия

• В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений.

• А

• В

• С

• D

• d

• a

• b

• d2 = a2 + b2

• Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов
• трех его
• измерений.

• d2 = a2 + b2 + с2

• a

• b

• с

• d

• d

• C

• а

• b

• с

• B

• A

• D

• B1

• C1

• D1

• A1

• Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

• Следствие.
• Диагонали прямоугольного
• параллелепипеда равны.

• d2 = a2 + b2 + с2

• Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.

• № 188.

• D

• А

• В

• С

• А1

• D1

• С1

• В1

• d2 = a2 + b2 + с2

• d = 3a2

• d2 = 3a2

• d = a 3

• d = a 3

• а

• а

• а

• Найдите расстояние от вершины куба до плоскости
• любой грани, в которой не лежит эта вершина, если:
• а) диагональ грани куба равна m.
• б) диагональ куба равна d.

• № 189.

• D

• А

• В

• С

• D1

• С1

• m

• Н

• А

• Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

• Подсказка

• В1

• А1

• Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:
• a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина
• ребра А1D1.

• № 190.

• D

• А

• В

• С

• А1

• D1

• С1

• В1

• K

• Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что плоскости
• АВС1 и А1В1D перпендикулярны.

• № 191.

• D

• А

• В

• С

• А1

• D1

• С1

• В1

• Найдите тангенс угла между диагональю куба и
• плоскостью одной из его граней.

• № 192.

• D

• А

• В

• С

• А1

• D1

• С1

• В1

• Подсказка

• Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

• П-Р

• Н-я

• П-я

• Н

• А

• М

• П-Р

• Н-я

• П-я

• № 193.

• D

• А

• В

• С

• А1

• D1

• С1

• В1

• Подсказка

• Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
• Найдите расстояние между:
• а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС;

• a II

• a

• Расстояние от произвольной точки
• прямой до плоскости называется расстоянием
• между прямой и параллельной ей плоскостью

• n

• d

• m

• № 193.

• D

• А

• В

• С

• А1

• D1

• С1

• В1

• Подсказка

• Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1
• Найдите расстояние между:
• б) плоскостями АВВ1 и DCC1;

• n

• d

• m

• II

• Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется
• расстоянием между параллельными плоскостями.

• № 193.

• D

• А

• В

• С

• А1

• D1

• С1

• Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
• Найдите расстояние между:
• в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.

• n

• d

• m

• Подсказка

• a II

• a

• Расстояние от произвольной точки
• прямой до плоскости называется расстоянием
• между прямой и параллельной ей плоскостью

• В1

• Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими:
• а) диагональ куба и ребро куба;

• № 194.

• D

• А

• В

• С

• D1

• С1

• а

• В1

• А1

• a II

• Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

• a

• b

• a b

• Подсказка

• Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими:
• б) диагональ куба и диагональ грани куба.

• № 194.

• D

• А

• В

• С

• D1

• С1

• а

• В1

• А1

• a II

• Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

• a

• b

• a b

• Подсказка

• № 196.

• D

• В

• D1

• С1

• Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
• сечение плоскостью, проходящей через:
• а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1;

• А

• А1

• С

• В1

• № 196.

• Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
• сечение плоскостью, проходящей через:
• б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1.

• D

• В

• D1

• С1

• А

• А1

• В1

• С

• D

• А

• В

• С

• А1

• D1

• С1

• В1

• 1. Найдите угол А1ВС1
• 2. Доказать, что MN II А1С1, где M и N – середины ребер куба.

• N

• M

• Найдите площадь сечения, проходящего
• через точки А, В и С1

• D

• В

• D1

• С1

• А

• А1

• В1

• С

• 7

• 8

• 6

• Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
• Треугольник АВС – тупоугольный.

• А

• В

• N

• П-р

• Н-я

• П-я

• TTП

• АС ВS

• H-я

• АС NS

• П-я

• Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

• К

• С

• S

• Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
• АВСD – прямоугольник.

• А

• В

• N

• П-р

• Н-я

• П-я

• TTП

• DС BС

• H-я

• DС NС

• П-я

• Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК

• К

• С

• D

• Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
• АВСD – параллелограмм, угол С острый.

• А

• В

• П-р

• П-я

• TTП

• DС ВM

• H-я

• DС NM

• П-я

• Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

• К

• С

• D

• N

• Н-я

• M

• Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
• АВСD – параллелограмм, угол С тупой.

• А

• В

• П-р

• П-я

• TTП

• DС ВM

• H-я

• DС NM

• П-я

• Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

• К

• С

• D

• Н-я

• M

• N

• Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
• АВСD – трапеция, угол С острый.

• А

• В

• П-р

• П-я

• TTП

• DС ВM

• H-я

• DС NM

• П-я

• Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

• К

• С

• D

• Н-я

• M

• N

• Неперпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой МN. В плоскости из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC.

• № 166.

• M

• N

• А

• С

• В

• П-р

• Н-я

• П-я

• TTП

• МN АB

• H-я

• MN ВС

• П-я

• Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC

• С

• А

• В

• D

• M

• В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD.

• № 167.

• Двугранный угол равен . На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

• № 168.

• В

• d

• N

• А

• ?

• Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 1800.

• № 169.

• F

• В

• А

• О