Презентация "Компланарные векторы" 10 класс

Компланарные

векторы

Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11"

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

c

Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

a

c

Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

c

a

k

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

На рисунке изображен параллелепипед.

А

О

Е

D

C

Являются ли векторы ВВ1,

ОD и ОЕ компланарными?

В

B1

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.

А

О

Е

D

C

В

B1

Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор

ОС не лежит в плоскости ОАВ.

Являются ли векторы ОА,

ОВ и ОС компланарными?

B

C

A1

B1

C1

D1

Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными?

Векторы А1D1, A1C1 лежат в плоскости А1D1C1.

Вектор D1В не лежит в этой плоскости.

Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны.

A

D

A

B

C

A1

B1

C1

D1

D

Являются ли векторы AD и D1B компланарными?

Любые два вектора компланарны.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.

Компланарны ли векторы?

В

А

В1

С1

D1

D

С

А1

АА1, СС1, ВВ1

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.

Компланарны ли векторы?

В

А

В1

С1

D1

D

С

А1

АВ, АD, АА1

Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так

как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.

Компланарны ли векторы?

В

А

В1

С1

D1

D

С

А1

В1В, АС, DD1

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.

Компланарны ли векторы?

В

А

В1

С1

D1

D

С

А1

АD, CC1, А1B1

Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так

как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.

АD, CC1, А1B1

Векторы

не компланарны

Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.

c

a

b

c = xa + yb

a

b

c

Признак компланарности

c = xa + yb

Докажем, что векторы компланарны.

b

О

В

В1

А1

А

С

ОВ1 = у ОВ

ОА1 = х ОА

Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.

Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ.

А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,

равный вектору .

c

c

a

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.

c

a

b

c = xa + yb

a

b

c

Признак компланарности

Справедливо и обратное утверждение.

Если векторы , и компланарны, а векторы

и не коллинеарны, то вектор можно

разложить по векторам и

, причем

коэффициенты разложения определяются

единственным образом.

c

a

b

c = xa + yb

a

b

c

a

b

Сложение векторов.

Правило треугольника.

a

a

b

b

a +

b

АВ + ВС =

АС

П

О

В

Т

О

Р

И

М

Сложение векторов. Правило параллелограмма.

a

a

b

b

a +

b

b

a +

АВ + АD =

АС

А

В

D

C

П

О

В

Т

О

Р

И

М

Сложение векторов.

Правило многоугольника.

= АO

АВ + ВС + СD + DO

a

c

n

m

c

m

n

a+c+m+n

a

П

О

В

Т

О

Р

И

М

A

В

С

В1

D

Е

Правило параллелепипеда.

a

b

c

О

OE + ED

= (OA + AE) + ED

= OA + OB + OC =

= a + b + c

OA + OB + OC = OD

из OED

из OAE

OD =

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде

где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и . Числа , и

называются коэффициентами разложения.

p = xa + yb + zc

c

x

z

p

y

b

a

x

z

y

p = xa + yb + zc

Докажем, что любой вектор можно представить в виде

p

b

c

a

p

C

B

P1

A

P

P2

a

b

c

p

O

По правилу многоугольника

ОР = ОР2 + Р2Р1 + Р1Р

ОР2 = x OA

Р2Р1= у OВ

Р1Р = z OC

ОР = x OA + y OB + z OC

p = xa + yb + zc

Если предположить, например, что , то из этого

равенства можно найти

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора

p = x1a + y1b + z1c

p = xa + yb + zc

–

o = (x – x1)a + (y – y1)b + (z – z1)c

Это равенство выполняется только тогда,

когда

o

o

o

Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно,

и

Следовательно, коэффициенты

разложения определяются

единственным образом.

D

В

A

С

B1

C1

D1

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

АВ + АD + АА1

A1

= AC1

В

A

С

C1

D1

D

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

DА + DC + DD1

A1

= DB1

B1

В

A

С

C1

D1

D

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A1

= DB1

B1

A1B1 + C1B1 + BB1

DC

+ DD1

+ DA

В

A

С

C1

D1

D

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A1

= A1C

B1

A1A + A1D1 + AB

+ A1B1

A1A + A1D1

В

A

С

C1

D1

D

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A1

= BD1

B1

B1A1 + BB1 + BC

BA +

BB1 + BC

В

A

С

C1

D1

D

№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.

Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.

A1

B1

ВD1 = BA + BC + BB1

По правилу параллелепипеда

В

A

С

C1

D1

D

№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.

Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.

A1

B1

В1D1 = B1A1+ А1D1

По правилу треугольника из А1В1D1:

из А1В1B

= (В1B + BA1)+ А1D1

=

= (A1A – A1B)+ А1D1

=

=

= A1A – A1B+ А1D1