Презентация "Свойства биссектрисы угла" 8 класс


Подписи к слайдам:
Замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника. Свойство биссектрисы угла

Цели урока:

  • Рассмотреть теорему о свойстве биссектрисы угла и её следствие.
  • Учить применять данную теорему и следствие при решении задач.

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии.

Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

C каждым треугольником связаны четыре точки:

 

• точка пересечения медиан;

• точка пересечения биссектрис;

• точка пересечения серединных перпендикуляров;

• точка пересечения высот.

 

Эти четыре точки называют замечательными точками треугольника.

Почему они «Замечательные»?

Это нам и предстоит узнать.

Свойство биссектрисы

  • Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
  • Обратно:

  • Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

?

Дано: <A, <1=<2, M Є AD. Доказать: MK=ML.

Доказательство:

1.Возьмём т. МЄAD.

2. Из т. М проведём МК и ML перпендикулярно AB и AC.

3. Рассмотрим Δ AKM и

Δ AML.

4. Δ AKM = Δ AML,

MK=ML

?

А

L

K

B

C

M

D

2

1

Следствие: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

1. Построим биссектрисы АА₁, BB₁, CC₁.

2. Обозначим точку O – точку пересечения биссектрис.

3. Проведём OK, OL и OM-перпендикуляры к сторонам Δ ABC

4. По теореме: OK=OM=OL

т. О Є СС₁

Следовательно,

все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

B₁

M

A₁

K

C₁

L

A

C

В

O

№ 676 б. Cтороны угла А, равного 90°, касаются окружности с центром О и радиусом r, ОА = 14 дм. Найдите: r.

Решение:

  • Проведём радиусы OP и OH из центра окружности в точки касания.
  • OP AP, OH AH
  • 3. AO – биссектриса прямого угла А

  • Δ AOP – прямоугольный, равно– бедренный,
  • т.к <ОАР=90°:2 =45°

  • По теореме Пифагора:
  • AO²=OP²+AP²

    AO²=r²+r²,

    2r²=14², r=7√2.

    Ответ: r=7√2дм.

H

A

P

O

№678 а – дополнительно.

Оформить и решить самостоятельно.

Ответ: 46˚

Использованные ресурсы:

1. Учебник «Геометрия 7-9»; авт: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина. М., Просвещение, 2007г. 2. Рисунки треугольников:

http://www.google.ru/search?q=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8+%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&hl=ru&newwindow=1&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=_j5CT9zvLK_Q4QSShuyACA&ved=0CCIQsAQ&biw=1247&bih=864.