Презентация "Кривые второго порядка" 10 класс


Подписи к слайдам:
§ Кривые второго порядка

§ Кривые второго порядка

  • Кривые второго порядка делятся на
  • 1) вырожденные и 2) невырожденные
  • Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка).
  • Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.

Гипотеза: Если изменим радиус окружности вдоль оси ординат путём сжатия, то получим эллипс.

ПОСТРОЙКА ЭЛЛИПСА

  • Для того чтобы нарисовать эллипс, потребуются нить и кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге эллипс.

Построение графика эллипса

  • Пусть, например, на эллипсе взяты точки M1, M2, M3, M4 и т.д. (рис. 1).
  • Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:
  • F1M1 + FM1 = F1M2 + FM2 = F1M3 + FM3 = F1M4 + FM4 = const. (1)
  • Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойством (1), и есть эллипс.

1. Эллипс и окружность

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).
  • Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
  • Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.
  • В такой системе координат:
  • F1(–c;0) и F2(c;0) ,
  • где |OF1| = |OF2| = c.

уравнение эллипса.

  • 3. Построим эллипс.

Уравнение (1):

  • Уравнение (1):
  • называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат.

СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА

  • СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА
  • 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=a, y=b.
  • 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
  • Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью.
  • 3) Из уравнения эллипса получаем:

Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.

  • Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.
  • Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2bмалой осью.
  • Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно.
  • Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.
  • Величина характеризует форму эллипса.
  • Зная эксцентриситет эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x;y):
  • Замечания.
  • 1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для этой кривой
  • Геометрически, это означает, что точки кривой равноудалены (на расстояние r) от ее центра O, т.е. кривая является окружностью.
  • Каноническое уравнение окружности принято записывать в виде x2 + y2 = r2 , где r – расстояние от любой точки окружности до ее центра; r называют радиусом окружности.

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

  • 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид
  • Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox, фокусы имеют координаты F1(0;–c) и F2(0;c) , где
  • Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

Точки пересечения эллипса с осями

  • Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох.
  • Пусть у=0;
  • тогда имеем:
  • .
  • Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (-а; 0) (точки А и А1)

  • Теоретический материал
  • <number>
  • Окружность
  • является частным случаем эллипса при
  • Эксцентриситет окружности равен нулю. Чем ближе значение
  • эксцентриситета эллипса к нулю, тем больше форма эллипса
  • приближается к форме окружности.
  • Окружность, центром которой является точка ,
  • определяется уравнением

  • Теоретический материал
  • <number>
  • Исследование формы эллипса по его уравнению
  • Пример 1

  • Теоретический материал
  • <number>
  • Пример 2

  • Теоретический материал
  • <number>
  • Пример 3

  • Теоретический материал
  • <number>
  • Пример 4

2. Гипербола

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).
  • Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.
  • Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.
  • В такой системе координат:
  • F1(–c;0) и F2(c;0) ,
  • где |OF1| = |OF2| = c.

Уравнение (2):

  • Уравнение (2):
  • называется каноническим уравнением гиперболы. Система координат, в которой гипербола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ

  • СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ
  • 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x=a.
  • 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
  • Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.
  • 3) Из уравнения гиперболы получаем:

Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат.

  • Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат.
  • Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные.
  • Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности.
  • Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k1,2x+b1,2 , где

Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.

  • Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.
  • Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2bмнимой осью.
  • Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно.
  • Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.
  • Величина характеризует форму гиперболы.
  • Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y). Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x > 0), то
  • Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то

Замечания.

  • Замечания.
  • 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной.
  • Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны.
  •  можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет
  • xy=0,5a2 . (3)
  • Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гипер- болы, отнесенной к асимптотам.

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид

  • 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид
  • Для этой гиперболы:
  • действительная ось – ось Oy,
  • мнимая ось – ось Ox,
  • F1(0;–c) и F2 (0;c) (где )
  • асимптоты:
  • фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

3. Парабола

  • Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой ℓ.
  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ℓ) одинаково.
  • Точку F называют фокусом параболы, прямую ℓ – директрисой.
  • Выберем декартову прямоугольную систему координат так, директриса параболы ℓ была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до ℓ было одинаковым.
  • В такой системе координат:
  • F (0,5p;0) и ℓ: x + 0,5p =0 ,
  • где p – расстояние от F до ℓ .

  • Уравнение (4): y2 = 2px
  • называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

  • СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ
  • 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.
  • 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).
  • Ось симметрии параболы называют осью параболы.
  • 3) Из уравнения параболы получаем:

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

  • СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ
  • 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.
  • 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).
  • Ось симметрии параболы называют осью параболы.
  • 3) Из уравнения параболы получаем:

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,

  • Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,
  • Число p называется параметром параболы.
  • Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.

  • Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.
  • Тогда получим для параболы уравнение
  • y2 = –2px, (5)
  • а для директрисы и фокуса:
  • F(–0,5p;0) и ℓ : x – 0,5p = 0.

Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):

  • Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):
  • Тогда уравнение параболы будет иметь вид x2 = 2py, (6)
  • а для директрисы и фокуса получим:
  • F(0;  0,5p) и ℓ : y  0,5p = 0.
  • Уравнения (5) и (6) тоже называются каноническими уравнениями параболы, а соответствующие им системы координат – каноническими системами координат.

4. Координаты точки в разных системах координат

  • Получаем:
  • Формулу (8) называют формулой преобразования координат точки при переносе начала координат в точку C(x0;y0).

5. Общее уравнение кривой второго порядка

  • Рассмотрим уравнение
  • Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (13)
  • С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) может быть приведено к виду:
  • ВЫВОД: Уравнение (13) определяет кривую, каноническая система координат которой параллельна заданной, но имеет начало в точке C(x0,y0).
  • Говорят: уравнение (13) определяет кривую со смещенным центром (вершиной), а уравнение (14) называют каноническим уравнением кривой со смещенным центром (вершиной).

Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно:

  • Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно:
  • 1) если AC = 0, то кривая является параболой;
  • 2) если AC < 0, то кривая является гиперболой;
  • 3) если AC > 0, A C– эллипсом;
  • 4) если AC > 0, A = C – окружностью.

6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы

  • Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы.
  • ri = | MFi | , di = d(M,ℓi)
  • ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство
  • ЗАМЕЧАНИЕ. По определению параболы r = d.  параболу можно считать кривой, у которой эксцентриситет  = 1.
  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) есть величина постоянная и равная  , называется
  • 1) эллипсом, если <1 ; 2) гиперболой, если >1;
  • 3) параболой, если  = 1.

7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы

  • Получаем: α = β .С физической точки зрения это означает:
  • 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе.
  • 2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса.
  • 3) Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси.

§ Поверхности второго порядка

  • Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – многочлен степени 2.
  •  в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:
  • a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .
  • Поверхности второго порядка делятся на
  • 1) вырожденные и 2) невырожденные
  • Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка).
  • Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

1. Эллипсоид

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, b, cположительные константы.
  • Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида.

Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.
  • Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.
  • Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой.

  • Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой.
  • Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде
  • x2 + y2 + z2 = r2,
  • где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы.
  • С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

2. Гиперболоиды

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, b, cположительные константы.
  • Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида.
  • Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы
  • вокруг своей мнимой оси.
  • тоже определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.
  • Замечание. Уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, b, cположительные константы.
  • Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
  • Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы
  • вокруг своей действительной оси.
  • тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.
  • Замечание. Уравнения

3. Конус

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, b, cположительные константы.
  • Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса.

  • Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса.
  • Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой
  • вокруг оси Oz .
  • Замечание. Уравнения
  • тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

4. Параболоиды

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, bположительные константы.
  • Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.

  • Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.
  • Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы
  • вокруг оси Oz.
  • Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).
  • Замечания: 1) Уравнение
  • тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз.
  • 2) Уравнения
  • определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, bположительные константы.
  • Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Величины a и b называются параметрами параболоида.

  • Величины a и b называются параметрами параболоида.
  • Замечания: 1) Уравнение
  • тоже определяет параболоид, но «развернутый» вниз.
  • 2) Уравнения
  • определяют параболоиды, «вытянутые» вдоль осей Oz и Oy соответственно.
  • Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

5. Цилиндры

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) .
  • Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.

Цилиндр

  • Цилиндр
  • в некоторой декартовой системе координат
  • задается уравнением,
  • в которое не входит одна из координат.
  • Кривая,
  • которую определяет это уравнение
  • в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра;
  • а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.