Презентация "Представление о правильных многогранниках"




Подписи к слайдам:
Слайд 1

Представление о правильных многогранниках

  • ОГАОУ СПО Белгородский строительный колледж
  • г. Белгород
  • Автор: Агапова Наталья Николаевна,
  • преподаватель математики

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников:

  • Существует пять типов правильных выпуклых многогранников:
  • Тетраэдр
  • Икосаэдр
  • Додекаэдр
  • Октаэдр
  • Куб (гексаэдр)

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n≥ 6.

Доказательство:

  • Угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 120 градусов.
  • С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов.

Доказательство:

  • Значит, если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не менее чем 120*3=360.

Доказательство:

  • Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.

Названия правильных многогранников пришли из Греции. Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют Платоновыми телами, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

  • Названия правильных многогранников пришли из Греции. Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют Платоновыми телами, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

  • Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

  • Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.
  • Икосаэдр - как самый обтекаемый - воду.
  • Куб - самая устойчивая из фигур - землю.
  • Октаэдр - воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

  • В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.
  • Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
  • Это была одна из первых попыток ввести их систематизацию.

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

  • Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все грани являются равносторонними треугольниками.
  • Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Куб составлен из шести квадратов.

  • Куб составлен из шести квадратов.
  • Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов.
  • Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

  • Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.
  • Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников.
  • Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

  • Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.
  • Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников.
  • Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

  • Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.
  • Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.
  • Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

  • Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба

  • Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.

  • Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр.

  • Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра.

  • Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров

  • Молекулы воды имеют форму тетраэдра

Задание: Перерисуйте развертки правильных многогранников на плотные листы бумаги в большем масштабе, вырежьте развертки (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из них многогранники.

  • Задание: Перерисуйте развертки правильных многогранников на плотные листы бумаги в большем масштабе, вырежьте развертки (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из них многогранники.

  • Куб
  • Тетраэдр

  • Додекаэдр
  • Октаэдр

  • Икосаэдр

Использованная литература:

  • Л. С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, М.: Просвещение, 2007 г.
  • М. И. Башмаков. Математика, М.: Академия, 2013 г.
  • Источники изображений:
  • Изображения многогранников и развёрток
  • http://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_многогранник.
  • Изображения многогранников в природе
  • http://free-math.ru/publ/shkolnaja_matematika/algebra_10_klass/mnogogranniki_v_prirode/38-1-0-288.