Презентация "Решение планиметрических задач высокого уровня сложности" 9 класс


Подписи к слайдам:
Решение планиметрических задач высогоко уровня сложности

МАОУ «Белоевская СОШ»

  • МАОУ «Белоевская СОШ»
  • Автор:
  • Батина Надежда Ивановна учитель математики высшей категории
  • 2014

Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.

  • Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.

Продолжим прямые AB и CD до пересечения их в точке O, тогда точка O лежит на прямой,

  • Продолжим прямые AB и CD до пересечения их в точке O, тогда точка O лежит на прямой,
  • проходящей через середины оснований.
  • Поскольку ∠A и ∠D в сумме дают 90°, то угол O – прямой.

Докажем, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности длин оснований. Проведем

  • Докажем, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности длин оснований. Проведем
  • через точку С прямые CE и CK, параллельные AB и OM соответственно, тогда CK – медиана прямоугольного треугольника ECD, поэтому
  • CK = 1/2 ED = 1/2 (AD - BC).
  • Из условия задачи PM=8, а средняя линия трапеции 15.

Далее

  • Далее
  • PM = CK = 1/2 (AD - BC) = 8;
  • 1/2 (AD + BC) = 15.
  • Решая полученную систему, имеем:
  • BC = 7,
  • AD=23.
  • Ответ: 7 и 23.

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов C и D пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия равна 21, боковые стороны 13 и 15.

  • Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов C и D пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия равна 21, боковые стороны 13 и 15.

1. Доказать, что AFB –прямоугольный;

  • 1. Доказать, что AFB –прямоугольный;
  • 2. Доказать, что FM||AD
  • (воспользоваться свойством медианы прямоугольного треугольника);
  • 3. Значит, MF лежит на средней линии MN.
  • Аналогично для отрезка NG.
  • 4. FG = MN – 1/2 AB – 1/2 CD
  • Ответ: FG=7.

В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол C равен 75°. Окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой BC. Найдите площадь параллелограмма.

  • В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол C равен 75°. Окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой BC. Найдите площадь параллелограмма.

BC – касательная к окружности, описанной около треугольника ABD. Пусть O – центр этой окружности, тогда OBBC, значит OBAD. Хорда AD перпендикулярна к диаметру,

  • BC – касательная к окружности, описанной около треугольника ABD. Пусть O – центр этой окружности, тогда OBBC, значит OBAD. Хорда AD перпендикулярна к диаметру,
  • значит, AK = KD.

Итак, BK – медиана и высота треугольника ABD, поэтому AB = BD = 2.

  • Итак, BK – медиана и высота треугольника ABD, поэтому AB = BD = 2.
  • ∠A = ∠D = 75°, значит,
  • ∠B = 30°
  • Площадь параллелограмма
  • в два раза больше площади треугольника ABD, следовательно:
  • S = AB · BD · sin 30° = 2
  • Ответ: 2.