Презентация "Перпендикулярность прямой и плоскости"




Подписи к слайдам:
Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве

  • Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
  • На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые
  • а и с скрещивающиеся

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

  • Дано: а b и а ⊥ с. Доказать: bc.
  • Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а с, то ∠АМС =90° Т.к. а b , а ⃦ МА, то b ⃦ МА. Итак, b ⃦ МА, с ⃦ МС,
  • ∠ АМС = 90°, т. е. bc. Лемма доказана.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

  • Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
  • Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а ⊥ α.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

  • Дано: а а1 , а ⊥ α.
  • Доказать: а 1║ α
  • Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а1 перпендикулярна α. Теорема доказана.
  •  

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

  • Дано: a ⊥α,b ⊥α (а)
  • Доказать : a b .
  • Доказательство:
  • Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b1 ⊥α. Докажем ,что прямая b1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a b .Допустим ,что прямые b и b1 не совпадают .Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, ab. Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

  • Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
  • Дано: а р, а q, р и q лежат в плоскости α.
  • р q = О. Доказать: а ┴ α
  • Доказательство:
  • Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l, параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L.
  • Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны
  • ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и l а. Т.к. l m, l ⊥ а, то m ⊥а. Итак а ⊥ α.
  • Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а, а1 ║а. По лемме
  • а1 р и а1 q, поэтому а1 ⊥ α. Отсюда, а ⊥ α.
  • Теорема доказана.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

  • Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.
  • Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна.
  • Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскостьβ, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости b по по построению и с а, так как (β ⊥ α).
  • 2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее черезс1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с1 с , что невозможно, т. к. прямые с1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскостиα. Теорема доказана.

Автор:

  • Преподаватель математики ГАОУ СПО «Волгоградский профессионально - технический колледж»
  • Зотова И.В.