Конспект урока "Объём шара"




ОБЪЁМ ШАРА
Некрасова Н.А., ГБОУ РХ НПО «ПУ-15» с. Бея
Цель:
вывести формулу объёма шара, проверить степень усвоения основного теоретического
материала, умение применять формулы при решении задач; способствовать развитию
представления о телах вращения и их применении в окружающем мире, установлению
связи между теорией и практикой, закреплению навыков решения задач по теме;
развивать умение применять полученные знания при решении нестандартных задач;
способствовать развитию творческого мышления, пространственного мышления при
решении задач;
воспитывать ответственность, коммуникабельные качества, объективность в
самооценке результатов работы.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация, модели шаров.
Эпиграф: Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто (М. Лауэ)
Ход урока
1. Организационный момент (приветствие, определение отсутствующих, организация
внимания)
- Сегодня у нас на урок решения задач творческого и практического содержания по теме
«Объём шара». Сформулируйте каждый для себя цель урока.
Предполагаемые ответы:
- Вывести формулу объёма шара. Применение этой формулы при решении задач.
- Применение формулы объёма шара при решении не сложных задач.
- Применение формулы объёма шара при решении более сложных задач и задач
практического содержания.
- Итак, цель сегодняшнего урока - вывести формулу объёма шара и её применение в
окружающем мире. Девизом урока будут слова французского инженера-физика М. Лауэ
«Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто».
2. Актуализация полученных знаний
Теоретический опрос (фронтальная работа)
Вспомните, определение шара и его элементов.
Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на
расстоянии, не больше данного R.
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой
поверхности.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара,
называется диаметром шара.
Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками
шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся
диаметром шара, называют хордой шара.
3.Изучение новой темы
Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.
Теорема: Объем шара равен
Доказательство:
Мы уже знаем, что можно вычислять объёмы тел с помощью интегральной формулы
V=
Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.
(Учитель объясняет вывод формулы объёма шара с помощью формулы, ученики делают
записи в тетрадях).
Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом
(рис192).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через
точку М этой оси, является кругом с центом в точке М. Обозначим радиус этого круга
через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из
прямоугольного треугольника ОМС находим . Тогда , где
Так как , то заменяя r через выражение получим
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для
всех х, удовлетворяющих условию
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
Теорема доказана.
В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе
решения задач полезно знать формулу , где D – диаметр шара
4.Формирование умений и навыков учащихся.
ПРОБЛЕМНАЯ ЗАДАЧА: При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако
выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трём арбузам
диаметром 1 дм.
Что вы возьмете? Правы ли были продавцы
Решение:
Необходимо найти объемы данных арбузов.
и таких арбузов три, значит их общий объем равен
Задача (Архимеда): На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен
цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и
площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр в …раз
меньше объема цилиндра и что также относятся площади поверхностей этих тел».
Найдите отношение объема цилиндра к объему шара и отношение площади поверхности
цилиндра к площади поверхности шара.
Дано: в цилиндр вписан шар
Найти: отношение объёмов цилиндра и шара, отношение площадей поверхностей
РЕШЕНИЕ:
Ответ:1,5
Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объём
шара в полтора раза меньше объёма описанного около него цилиндра. Недаром шар,
вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах.
Задача.Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем
шара?
Решение:
Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.
Поверхность шара S
1
= 4пR
2
, стала S
2
= 4пR
2
/9 = 4п (R/3)
2
= 4пr
2
Видим, что r = , т.е. радиус уменьшился в 3 раза.
Объем V
1
= 4/3 ПR
3
, а объем V
2
= 4/3 пr
3
= 4/3 п(R/3)
3
=4/3 пR
3
/27 = V
1
/ 27.
Ответ:27
5.ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление объёма полушария»
Учащиеся получают модель полушария.
Задание: Выполнить необходимые измерения и вычислить объём полушария.
Измерения и вычисления проверяются сразу на уроке, используя формулы в данной
программ.
6.Математический диктант
1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см. [R = 5 см].
2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. [V= 32π/3].
3. Объем шара равен 256π/3 см3. [288π см3]. Найдите площадь большего круга [длину
окружности большего круга].
4. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1 [R = 2]. Найдите отношение Vцил. : Vшара
[Vшара : Vцил.].
Ответы к математическому диктанту:
Вариант I 1. 228π; 2. 3; 3. 16π; 4.
Вариант II 1. 500π/3; 2. 2; 3. 12π; 4.
7.Итог урока
Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.
Диагностика (рефлексия).
На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные
тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое
еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.
Беседа по следующим вопросам:
Что было интересного сегодня на уроке?
Что вызвало трудности?
Какие умения приобрели сегодня?
Где могут пригодиться эти умения?
Домашнее задание.