Конспект урока "Действия над векторами в координатах"


Тема урока: Действия над векторами в координатах
Общеобразовательная средняя школа № 59
Учитель математики Ажиенко Юлия Викторовна
Тема урока: Действия над векторами в координатах
Цель урока: изучить правила треугольника и параллелограмма
Задачи урока: решение задач по данной теме
Ход урока:
1 этап: Орг момент, приветствие, проверка домашнего задания
2 этап: Новая тема:
Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогично тому, как они
определялись для векторов на плоскости.
Определение. Суммой векторов a (a
1
а
2
, а
3
) и b(b
1
b
2
, b
3
) называется вектор а + b с
координатами (а
1
+ b
1
; а
2
+ b
2
; а
3
+ b
3
)
Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:
1. а+b=b+а переместительный закон сложения;
2. а + (b + с) = (а+ b) + с сочетательный закон сложения.
Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие
координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.
Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное
равенство + = .
Действительно, для любых трех точек A(a
1
а
2
, а
3
), B(b
1
b
2
, b
3
), C(c
1
, с
2
, с
3
) (b
1
а
1
; b
2
-
а
2
; b
3
- а
3
) и
1
- b
г
; с
2
- b
2
, с
3
- b
3
).
Отсюда + = (с
1
а
1
; с
2
- а
2
; с
3
- а
3
).
Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам
треугольника (рис. 69).
Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.
Если ABCD параллелограмм (рис. 70), то + = .
Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило
многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда
АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.
Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются
противоположными.
Из определения следует, что у противоположных векторов соответствующие координаты
имеют противоположные знаки.
Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме
с вектором b дает вектор а .
Если а
1
; а
2
; а
3
) и b( b
1
; b
2
; b
3
), то - =
1
b
1
; а
2
- b
2
; а
3
b
3
).
Определение. Произведением вектора (a
1
; а
2
; a
3
) на число k называется вектор
k = (k а
1
; k а
2
; k а
3
).
Из определения вытекают следующие свойства:
1. k( + ) =k + k ,
2. (т + n) • +п и равенство | k | = | k || | (здесь k, т, п числа).
Ненулевые векторы а и b коллинеарные тогда и только тогда, когда найдется такое
число х, что выполняется равенство = х . При этом число х единственно.
3 этап: решение задач
№ 1 стр 74
найдите сумму векторов а(4; 2;-4) и b(6; -4; 10)
Решение: а + b = (4+6; 2-4; -4+10) = (10; -2; 6)
№ 2 стр 74
Найдите сумму векторов а(0; 5;
1
2
), б(
1
4
;
1
2
;
3
4
) с(
1
4
;
11
2
;
5
4
)
Решение: а + в + с = 0+
1
4
-
1
4
= 0; 5 + 0,5 5,5 = 0; 0,5 + 0,75 + 1,25 = 2,5
Ответ: а+ в + с = (0; 0; 2,5)
№ 3 стр 75
Найдите сумму векторов: а) MN и NK б) PS и PR в) AB, BC, CD и DA
Решение:
А) MN + NK = MK; б) PS + PR = SR; в) AB+BC+CD+DA = AD + DA =
противоположные векторы*, значит их сумма равна 0
№ 4 Стр 75
А) нет б) нет в) да, т.к.(
1
2
;
1
2
;
1
2
)
№ 5 Стр 75
ABCD-тетраэдр, чему равна сумма векторов AD+DB+BC
Решение:
Если конец одного вектора совпадает с началом второго вектора, то их сумма равна
вектору, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом
второго вектора.
4 этап: подведение итогов
5 этап: домашнее задание: № 6 № 7 стр 75