Конспект урока "Перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости" 10 класс


Учитель математики МБОУ Подозерской СОШ Стоячко Л.В.
Конспект урока в 10 классе по геометрии
Перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости
1. Тема урока . 2. Определения перпендикулярности прямых в пространстве
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Обозначение. .
Рис. 1.
Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для
того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую , па-
раллельную прямой а, и прямую , параллельную прямойb. Прямые и пересекаются. Угол
между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые аи b перпендикуляр-
ны.
3. Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая пер-
пендикулярна к этой прямой.
Доказательство:
Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с,причем . Нужно доказать, что .
Возьмем произвольную точку М. Через точку М проведем прямую , параллельную прямой а и пря-
мую , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.
Рис. 2.
Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая параллельна прямой а по построению. Зна-
чит, прямые и b параллельны.
Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между
прямыми b и с это угол между прямыми и , то есть угол АМС, равный 90°. Значит, пря-
мые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.
4. Определение перпендикулярности прямой и плоскости
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой
прямой, лежащей в этой плоскости.
Обозначение. .
Рис. 3.
5. Свойство
Если , то . (пересечение а и )
Доказательство:
Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая
лежит в плоскости.
Если прямая а параллельна плоскости (рис. 4), то в плоскости можно провести прямую , па-
раллельную прямой а. Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плос-
кости.
Если прямая а лежит в плоскости (рис. 5), то в плоскости можно провести прямую , парал-
лельную прямой а. Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и
плоскости.
Значит, если прямая а перпендикулярна плоскости , то она пересекается с ней.
Рис. 4. Рис. 5.
6. Теорема
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепе-
дикуляная к этой плоскости.
Доказательство.
Пусть прямая а параллельна прямой а
1
. Прямая а перепендикулярна плоскости . Докажем, что и
прямая а
1
перепендикулярна плоскости .
Прямая а перпендикулярна плоскости . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в
этой плоскости. Прямая хлежит в плоскости , значит, (см. рис. 6).
Рис 6.
Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а
1
параллельна прямой а. Значит, прямая а
1
перпенди-
кулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а
1
перпендикуляр-
на любой прямой в плоскости , то есть прямая х перпендикулярна плоскости , что и требовалось
доказать.
7. Обратная теорема
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Доказательство.
Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая b перепендикулярна плоскости . Докажем,
что прямая а параллельна прямой b.
Рисунок 7.
Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую ,
параллельно прямой а(рис. 8).
Прямые и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая также
перпендикулярна плоскости .
Прямые b и пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость
пересекает плоскость по прямой с. Тогда прямая перпендикулярна прямой с, так как пря-
мая с лежит в плоскости , а прямая ей перпендикулярна.
Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и через точку М проходят два
перпендикуляра b и к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна пря-
мой а, что и требовалось доказать.
Рис. 8.
8. Задача 1
Дан параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
(рис. 9). Докажите, что и ,
если .
Рис. 9.
Доказательство.
ABCD прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол .
Прямая В
1
С
1
параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме,
прямая перпендикулярна В
1
С
1
.
Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A
1
D
1
. Значит, по лемме, пря-
мая АВ перпендикулярнаA
1
D
1
. Задача доказана.
Рассмотрим другое доказательство факта, что .
Угол DCB равен углу между прямыми DC и В
1
С
1
. Угол DCB прямой. Значит, пря-
мые и В
1
С
1
перпендикулярны.
9. Задача 2
В тетраэдре ABCD - . Докажите, что , где М и N середины ребер АВ и АС.
Рис. 10.
Доказательство.
MN средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.
Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, пря-
мые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.