Конспект урока "Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот – как движения плоскости" 9 класс


Урок геометрии в 9 классе, стратегия «Продвинутая лекция» Буякова Е. В.
Тема: «Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот – как движения
плоскости»
Цель: показать различные способы задания уравнения прямой и общее уравнение прямой.
Задачи:
1) ознакомиться с такими понятиями, как направляющий вектор и вектор нормали прямой;
2) показать четыре различных способа задания уравнения прямой;
3) показать взаимозаменяемость различных способов задания прямой.
Ход урока.
1. Тема урока. Разбиение класса на пары.
2. Инструктаж по чтению текста (приложение 1) и выполнению работы
Чтение и заполнение ведутся индивидуально. Текст разбит на две части.
Первый номер пары проверяет соответствие выписаных слов читаемому тексту.
Второй номер пары запоминает основные факты, с тем, что объяснить первому номеру.
Вторую часть текста пары читают, поменявшись ролями.
3. Вопрос к первой части: Что вы помните о осевой и центральной симметрии?
На доску выписываются слова – ассоциации, найденные каждой парой (без повторов), в тетрадях
учащиеся пополняют свои списки данных слов. После чего читается соответствующий текст.
4. Вопрос ко второй части текста: Какие ассоциации у вас возникают с темой
«параллельный перенос, поворот»?
На доску выписываются слова – ассоциации, найденные каждой парой (без повторов), в тетрадях
учащиеся пополняют свои списки данных слов. После чего читается соответствующий текст.
5. Обсуждение в парах.
6. Рефлексия - 10 минутное эссе на тему «Движения плоскости: виды и их отличия»
Приложение 1
Центральная и осевая симметрия
Определение. Симметрия (означает «соразмерность» ) — свойство геометрических объектов
совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую
правильность во внутреннем строении тела или фигуры.
Симметрия относительно точки это центральная симметрия (рис. 23 ниже), а симметрия
относительно прямой это осевая симметрия (рис. 24 ниже).
Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых
расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые
линии, кривые линии, геометрические фигуры).
Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку
симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее
серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут
кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.
Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру,
проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены
две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же
геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.
Примером может служить лист тетради, который согнут пополам, если по линии сгиба провести
прямую линию (ось симметрии). Каждая точка одной половины листа будет иметь симметричную
точку на второй половине листа, если они расположены на одинаковом расстоянии от линии сгиба
на перпендикуляре к оси.
Линия осевой симметрии, как на рисунке 24, вертикальна, и горизонтальные края листа
перпендикулярны ей. Т. е. ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных
ограничивающих лист прямых. Симметричные точки (R и F, C и D) расположены на одинаковом
расстоянии от осевой прямой перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки.
Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка,
равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине
отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
Параллельный перенос
Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости
перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.
Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие
такие точки X' и Y', что XX'=YY' или еще можно сказать так: параллельный перенос это
отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор
переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно
сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.
Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть
при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X' и Y' соответственно. Тогда
выполняется равенство XX'=YY'. Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что
XY=X'Y', откуда получаем, что во-первых XY=X'Y', то есть параллельный перенос является
движением, и во вторых, что XY X'Y', то есть при параллельном переносе сохраняются
направления.
Это свойство параллельного переноса - его характерное свойство, то есть справедливо
утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом.
Поворот
Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол ( ) в данном
направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X',
что, во-первых, OX'=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX' откладывается от луча OX в
заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота.
Докажем, что поворот является движением:
Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X' и Y'. Покажем, что
X'Y'=XY.
Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X'OY' равен
углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота.
(Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY' равен сумме угла XOY
и угла поворота (от OY к OY'):
с другой стороны,
Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того,
OX'=OX, и OY'=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними.
Следовтельно X'Y'=XY.
Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X'Y' будут либо суммой, любо
разностью равных отрезков OX, OY и OX', OY'. Поэтому и в этом случае X'Y'=XY. Итак, поворот
является движением.