Презентация "Правильная треугольная пирамида"


Подписи к слайдам:
Правильная пирамида

Правильная Треугольная пирамида

Выполнила учитель МБОУ СОШ №67 Кожеурова Галина Владимировна

г.Воронеж

Презентация на тему:

Треугольная пирамида—многогранник, основание которого —правильный треугольник , а остальные грани —треугольники, имеющие общую вершину.

M-вершина пирамиды ;

MA , MB , MC – рёбра

пирамиды ;

MAB , MBC , MAC –

боковые грани пирамиды ;

ABC – основание пирамиды ;

MO – высота ;

MK – апофема ;

MKB – диагональное сечение .

Элементы пирамиды

  • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды;
  • боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
  • боковые ребра — общие стороны боковых граней;
  • вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
  • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
  • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
  • осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту.

Пирамида называется правильной треугольной, если

  • основанием её является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
  • боковые ребра - равны;
  • все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n  — количество сторон многоугольника основания;
  • площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
  • Усеченная пирамида, которая получается из правильной, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды- равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

Свойства правильной треугольной пирамиды

  • Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.
  • Если все боковые ребра равны, то:
  • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
  • Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Формулы, связанные с правильной треугольной пирамидой

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
  • Где S  —площадь основания и h  — высота;
  • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
  • Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:

  • Для нахождения боковой поверхности в правильной треугольной пирамиде можно использовать формулы:
  • где  а - апофема боковой грани, P —периметр основания, n — число сторон основания ( для треугольной пирамиды – 3 ),  b— боковое ребро, α — плоский угол при вершине пирамиды.

Развёртка пирамиды

Развёртка треугольной пирамиды

  • При построении развёртки пирамиды применяется способ треугольника. Развёртка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников — граней пирамиды и правильного теугольника — основания. Поэтому построение развёртки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трём сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину рёбер и сторон основания. Определение истинной величины основания и рёбер пирамиды.

Алгоритм построения

  • Определяют натуральную величину основания пирамиды (например методом замены плоскостей проекций);
  • Определяют истинную величину всех рёбер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех рёбер пирамиды определена методом вращения вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды);
  • Строят основание пирамиды и по найденным трём сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие.
  • Точки, расположенные внутри контура развёртки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех рёбер, по которым многогранник разрезан, на развёртке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развёртки.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

  • Сфера
  • около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).[Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
  • в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

  • Конус
  • Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
  • Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

  • Цилиндр
  • Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Причём вписать цилиндр в пирамиду можно только тогда, когда в основании пирамиды — описанный многоугольник (необходимое и достаточное условие);
  • Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).