Презентация "Угол между скрещивающимися прямыми" 10 класс


Подписи к слайдам:
Слайд 1

Угол между скрещивающимися прямыми

20.12.2015

Жизнь не спросит, что ты учил. Жизнь спросит, что ты знаешь.

Вопросы для повторения

  • Каково взаимное расположение прямых в пространстве?
  • Какой из четырех углов, полученных при пересечении двух прямых, мы называем углом между пересекающимися прямыми?
  • Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми

Повторение:

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

a b

a

b

b

M

m

n

Повторение:

формулу (теорема косинусов)

При нахождении угла

между пересекающимися прямыми

используют

Устные упражнения

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CB1

A

C

B

D

A

A1

D1

C1

B1

Ответ:

9

0

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и CB1

A

A

C

B

D

A1

D1

C1

B1

Ответ:

6

0

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и AC

A

A

C

B

D

A1

D1

C1

B1

Ответ:

6

0

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1

A

C

B

D

A1

D1

C1

B1

C2

B2

D

C3

B3

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1

A

C

B

D

A1

D1

C1

B1

C2

B2

D

C3

B3

B

C2

D1

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1

B

C2

D1

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1

B

C2

D1

2

3

5

A

C

B

D

A1

D1

C1

B1

C2

B2

D

C3

B3

Ответ:

9

0

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CС1

A

B

C

D

E

F

A1

F1

E1

D1

C1

B1

Ответ:

9

0

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и DE1

A

B

C

D

E

F

A1

F1

E1

D1

C1

B1

Ответ:

4

5

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и A1С1

A

B

C

D

E

F

A1

F1

E1

D1

C1

B1

Ответ:

3

0

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и ED1

A

B

C

D

E

F

A1

F1

E1

D1

C1

B1

Ответ:

9

0

Практикум

1

1

1

А

В

С

D

Е

F

А1

В1

С1

D1

Е1

F1

О

О1

В правильной шестиугольной призме A … F1

все ребра равны 1.

Постройте сечение, проходящее через точку А1

параллельное плоскости В1ВС1

  • АА1 параллельно ВВ1
  • А1D1 параллельно В1С1
  • АА1 и A1D1 пересекаются
  • Плоскость АА1D1D параллельна плоскости ВВ1С1С

А

В

С

D

Е

F

А1

В1

С1

D1

Е1

F1

1

1

1

А

В

С

D

Е

F

А1

В1

С1

D1

Е1

F1

О

О1

В правильной шестиугольной призме A … F1,

все ребра равны 1.

Постройте в плоскости АА1D1

прямую, параллельную прямой ВС1

  • Плоскость (АА1D1) параллельна плоскости (ВВ1С1)
  • А1О1 =В1С1 (радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника)
  • АО1=ВС1 и параллельны

Решите задачи

В правильной шестиугольной

призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,

все ребра которой равны 1,

найдите косинус угла

между прямыми

AB1 и BC1

1

1

1

А

В

С

D

Е

F

А1

В1

С1

D1

Е1

F1

О

О1

А

В

С

D

Е

F

А1

В1

С1

D1

Е1

F1

В правильной шестиугольной призме A … F1,

все ребра которой равны 1, найдите

косинус угла между прямыми AB1 и BC1

  • Построим плоскость
  • АА1D1D параллельную

    плоскости ВВ1С1С.

Тогда прямая AO1

параллельна прямой BC1, и искомый угол φ между

прямыми AB1 и BC1

равен B1AO1.

1

1

1

А

В

С

D

Е

F

А1

В1

С1

D1

Е1

F1

О

О1

2) Рассмотрим

треугольник АВ1О1.

AO1 =

(диагональ квадрата)

AB1 =

(диагональ квадрата)

B1O1= 1

(радиус описанной окружности)

В правильной шестиугольной призме A … F1,

все ребра которой равны 1, найдите

косинус угла между прямыми AB1 и BC1

3) По теореме косинусов

2 2 2

AO1 + AB1 - B1O1

Cos B1AO1 = 2 AO1 AB1

Cos B1AO1 =0,75

1

О1

В1

А

Ответ: 0,75

В правильной шестиугольной призме A … F1,

все ребра которой равны 1, найдите

косинус угла между прямыми AB1 и BC1

Самостоятельная работа

Способы решения задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми

С помощью параллельного переноса

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

Точку М можно выбрать произвольным образом.

В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

a b

a

b

M

m

№ 1

В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите

угол между прямыми АВ1 и ВС1.

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

№ 1

1

1

1

1

1) Прямая AD1 параллельна прямой ВС1,

2) Треугольник В1AD1 – равносторонний,   В1AD1 = 600

 Угол между прямыми АВ1 и ВС1 равен углу В1AD1.

Ответ:

600

баллы

Критерии оценивания

2

Правильный ход решения. Верно построен или описан искомый угол. Получен верный ответ

1

1) Правильный ход решения. Получен верный ответ, но имеется ошибка в построении и описании искомого угла, не повлиявшая на ход решения

2) Правильный ход решения. Верно построен и описан искомый угол, но имеется ошибка в одном из вычислений, допущенная из-за невнимательности, в результате чего получен неверный ответ

0

1) Ход решения правильный, но оно не доведено до конца, или решение отсутствует. Нет ответа

2) Ход решения правильный, но имеются существенные ошибки в вычислениях, приведшие к неправильному ответу

3) Неправильный ход решения, приведший к неверному ответу

4) Верный ответ получен случайно при неверном решении или существенных ошибках в вычислениях

Критерии оценивания выполнения задания С2

№ 2

D

А

В

С

2

(AC + BD )-(CD + AB )

Cos

=

AD,CB

AD CB

2

2

2

2

С помощью тетраэдра

№ 2

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

С помощью тетраэдра

2

(BB1 + AC1 )-(AB + B1C1)

Cos

=

AB1, BC1

AB1 BC1

2

2

2

2

В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите

угол между прямыми АВ1 и ВС1.

1.Построим тетраэдр

с противоположными

ребрами AB1 и BC1

2.Применяя формулу,

получаем

Cos AB1,BC1 =0.5

AB1,BC1=60

  • Построим
  • плоскость,

    которой принадлежит

    прямая а,

    прямая b ее пересекает

    2) Построим b1 проекцию прямой b на плоскость

    3)Прямые a и b1 пересекаются,

    прямые b и b1 пересекаются

№ 3

a b

a

b

b1

Cos ab =Cos ab1 Cos bb1

Способ «в три косинуса»

№ 3

Способ «в три косинуса»

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

Cos AB1,BC1 =Cos AB1B Cos B1BC1

1.Прямая BC1 лежит

в плоскости (B1BC)

2.Построим проекцию

ребра АВ1 на плоскость

(B1BC)

3.Применяя формулу,

получаем

Cos AB1,BC1 =0.5

AB1,BC1=60

В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите

угол между прямыми АВ1 и ВС1.

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

№ 4

1

1

1

1

1) Введем систему координат, считая началом координат (·) А, осями координат – прямые АВ, АD, АА1.

cos  = 1/2,   (АВ1;AD1) = 600.

Ответ:

600

Векторный способ

В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите

угол между прямыми АВ1 и ВС1.

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очерченных идеях, где на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее.

Н.Е.Жуковский

Презентация урока

  • Презентация урока
  • Электронный журнал https://sc8ruz.eljur.ru

  • Статья В.И.Рыжика «Об углах между скрещивающимися прямыми и немного о прочих углах»
  • Сайт учителя http://perepelovanv.ucoz.ru/

Домашнее задание

Учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса Тер-Ованесян Геворк Левонович

  • Учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса Тер-Ованесян Геворк Левонович
  • http://uchu24.ru/video/ugol-mezhdu-skreschivayuschimisja-prjamymi.html

  • Решение задач С2
  • http://www.youtube.com/watch?v=rDFqNztvOTg

    http://ege-ok.ru/2012/03/26/ugol-mezhdu-skreshhivayushhimisya-pryamyimi-zadanie-s2/

    http://www.egetrener.ru/view_tema.php?tema=skre

    http://www.cleverstudents.ru/angle_between_skew_lines.html

Видео-лекции и уроки

  • В.А.Смирнов
  • Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Стереометрия./

    – М.:МЦНМЩ,2011

Литература

  • В.А.Смирнов
  • ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия./

    Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – М.:МЦНМЩ,2011

Подведение итогов урока:

  • Сегодня на уроке
  • я повторил …

  • Сегодня на уроке
  • я научился …

  • Мне необходимо
  • еще поработать над …