Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники

Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники учитель математики МОУ «СОШ с. Брыковка Духовницкого района Саратовской области» Шабанова Татьяна Александровна 2012 Высота, медиана, биссектриса треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой

А

М

АМ – медиана

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

А

А1

АА1 – биссектриса

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется перпендикуляром

Н

А

АН - высота

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

К

М

КМ – средняя линия

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

А

В

С

Cерединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярна к нему

а

А

В

а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему

М

А

В

О

m

m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ,

О – середина отрезка АВ

М Є m

АМ = ВМ

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

пересекаются в одной точке

А

В

С

m

n

p

O

m, n, p пересекаются в точке О

Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

А

В

С

К

СК – биссектриса <С

М

АМ – биссектриса <А

ВР – биссектриса <В

Р

О

О – точка пересечения биссектрис

Точка пересечения высот треугольника

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

А

С

В

К

М

Р

О

О – точка пересечения высот

Точка пересечения медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

А

В

С

К

М

Р

О

ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС

О – точка пересечения медиан

СО : КО = 2 : 1

АО : МО = 2 :1

ВО : РО = 2 : 1

Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним

АВ = ВС

А

В

С

А

В

С

АВ = АС = ВС

Свойства равнобедренного треугольника

А

С

В

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

<А = <В

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

АС = ВС

СК - биссектриса

К

АК = КВ, СК АВ

• Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
• Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Прямоугольный треугольник

Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным

АВ и АС – катеты

ВС - гипотенуза

А

В

С

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

ВС² = АВ² + АС²

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

С

А

В

<A + < B = 90°

< A = 30°

CB = AB

30°

Если CB = AB, то <A = 30°

Признаки равенства треугольников

I признак

По двум сторонам и углу между ними

II признак

По стороне и прилежащим к ней углам

III признак

По трем сторонам

А

N

М

К

С

В

Если <A = <K,

AB = KM,

AC = KN,

то ∆ABC = ∆KMN

А

C

B

P

N

К

Если <B = <P

AB = KP, BC = PK,

то ∆ABC = ∆KPN

А

C

B

M

K

N

Если АВ = КМ,

АС = KN, BC = MN,

то ∆АВС = ∆KNM

Признаки равенства прямоугольных треугольников

По двум катетам

Если АВ = КМ, АС = KN,

то ∆АВС = ∆KMN

А

N

М

К

С

В

По катету и прилежащему острому углу

Если AB = KM, <B = <M,

то ∆АВС = ∆KMN

По гипотенузе и острому углу

Если ВС = MN, <B = <M,

то ∆АВС = ∆KMN

По гипотенузе и катету

Если ВС = МN, АС = KN,

то ∆АВС = ∆KMN

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

А

В

С

АВ < ВС + АС

АС < АВ + ВС

ВС < АВ + АС

Сумма углов треугольника равна 180°

A

B

C

<A + <B + <C = 180°

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним

О

<АВО – внешний

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним <3 смежный с <4 <4 + <3 = 180° (<1 + <2) + <3 = 180° <1 + <2 = <4

1

2

3

4

Зависимость между величинами сторон и углов треугольника

В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

2. Если два треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки

а

b

А1

А2

А3

А1 А2 = А2А3 = А3 А4

А4

Проведем параллельные прямые

В1

В2

В3

В4

В1В2 = В2В3 = В3В4

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

А

С

В

В1

А1

С1

<A = <A1 , <B = < B1, <C = <C1,

k – коэффициент подобия

∆АВС ∞ ∆ A1

B1

C1

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

А

В

С

К

М

Р

Если

<A = <K, <B = <M,

то ∆АВС ∞ ∆КРМ

Если

АВ : КР = АС : КМ,

<А = <К,

то ∆АВС ∞ ∆КРМ

∆АВС ∞ ∆КРМ

Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°

С

А

В

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1

Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними

a

b

C

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

а

b

c

C

B

A

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

а

b

c

C

B

A

№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах. Решение: <BAC = <BCA <BCA = 180° – 123° = 57° <ABC = 180° – 2·57° = 66° Ответ: 66°

123°

А

С

В

№9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. Решение: <A + <B + <C = 180° <CAD = <BAD = 28° <A = 2·28° = 56° <B = 180° - 56° - 50° = 74° Ответ: 74°

А

D

С

В

№9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах. Решение: <A + <B = 90° Пусть <A = x, тогда <B = 2х х + 2х = 90° х = 30° Ответ: 30°

А

С

В

№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г) В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника Решение:

С

В

А

К

Ответ: 5

№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине В равен 68°. Найдите угол А. Решение: I способ: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно <A + <C = 68° <A = 68° – 28° = 40° Ответ: 40°

А

В

С

28

68

II способ:

<ABC = 180° - 68° = 112°

Сумма углов треугольника равна 180°.

Следовательно

<A + <B + <C = 180°

<A = 180° – 28° – 112° = 40°.

Ответ: 40°

№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD. Решение: ∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу между ними) AO = OB, DO = OC по условию, <DOB = <AOС как вертикальные, следовательно DB = AC

А

D

С

В

О

Достроим треугольники АВС и ВАD.

∆ADO = ∆BCO (по двум сторонам и углу между ними)

AO = OB, DO = OC по условию,

<DOА = <СOB как вертикальные,

следовательно

АD = ВC

Получили: DB = AC, AD = BC, АВ – общая. Таким образом

∆ABC = ∆BAD (по трем сторонам).

Что и требовалось доказать.

№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC. Решение: Так как MN || АС, то <ACB = <MNB (как соответственные), <ABC – общий,

А

В

С

М

N

Так как М и N середины сторон АВ и ВС, то MN – средняя линия ∆АВС

следовательно MN || АС.

следовательно

∆MBN ∞ ∆ABC (по двум углам)

Что и требовалось доказать

№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP. Решение: ∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам (<K – общий, <KLM = <KPL = 90°). ∆KLM ∞ ∆MPL по двум углам (<M – общий, <KLM = <MPL = 90°). ∆KPL ∞ ∆MPL по двум углам (углы при вершине P прямые, <K = <MLP). Так как ∆KPL ∞ ∆MPL, то

L

M

K

P

Что и требовалось доказать.