Презентация "Планиметрия: вычисление длин и площадей" 11 класс

Задание ЕГЭ ПЛАНИМЕТРИЯ: вычисление длин и площадей

Тренажёр

Надо знать формулы: Надо знать формулы: Надо уметь:

• площади треугольника;
• площади четырехугольников: прямоугольника, квадрата, ромба, параллелограмма, трапеции;
• площади круга ;
• площади сектора.

• решать простые планиметрические задачи;
• производить вычисления по известным формулам.

Площадь можно вычислить:

• либо по клеточкам,
• либо по координатам,
• либо по формулам.

Количество баллов за правильное решение: 1.

S=а·в

S=0,5ah

S= h(а+в):2

S = π∙ R²

Вычисление площади фигуры по формуле

Задача 1

Ответ: 28

Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных

клеток равными 1.

7

4

Задача 2

Найдите площадь ΔABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ: 9

3

6

Задача 3 Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ: 9

2

4

3

Задача 4 Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 и 16, а угол между ними равен 30.

Ответ: 16

30˚

4

16

Задача 5 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 8. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 12

5

5

8

4

4

3

Задача 6

• Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 и 10.

Ответ: 30

6

10

Задача 7 Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/π .

Ответ: 1,25

2

1

R

90˚

√5

Задача 8

• Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого
равна 2.

Ответ: 1

2

R=1

2

Задача 9 (Решите сами)

Ответ: 14

Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Задача 10 (Решите сами)

Ответ: 15

Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Задача 11 (решите сами) Периметр треугольника равен 10, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 10

Задача 12 (решите сами) Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 120. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника. В ответе запишите S/√3.

Ответ: 100

Задача 13(решите сами) Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Ответ: 50

S фигуры =S₁-S₂ S фигуры =S₁-S₂

S₂

S₁

Вычисление площади фигуры через разность площадей

Полезно знать

Sисх = Sпрямоуг − (S1 + S2 + S3 + S4 + S5)

Задача 14 Найти площадь треугольника ABC, изображенного на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1. Задача 14 Решение. Найдем площадь элементов  разбиения: S1 = ½ · 1 · 5 = 2,5; S2 = ½ · 3 · 4 = 6; S3 = ½ · 1 · 4 = 2. Sпрямоугольника = 5 · 4 = 20. Найдем площадь исходного треугольника: Sисх = Sпрямоугольника − (S1 + S2 + S3). Sисх = 20 − (2,5 + 6 + 2) = 9,5.

Ответ: 9,5

S₁=2,5

S2 =6

5

4

S3 =2

Задача 15 Найдите площадь ΔABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ: 7,5

12,5

2

1

2

Задача 16 Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ: 8

1

1,5

1,5

1

1,5

1,5

Задача 17 Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны 2:√π и 4:√π .

Ответ: 12

2:√π

4:√π

Задача 18 Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/π.

Ответ: 4

r=2

R

√8

2

2

Задача 19 (Решите сами) Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ:9.

Задача 20 (Решите сами) Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ:6

Нахождение площади фигуры через сумму площадей S фигуры =S₁+S₂

S₁

S₂

Задача 21 Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ: 10

5

5

Задача 22 Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ:8.

2

4

Задача 23 Найдите площадь пятиугольника, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ:16.

4

3

2

Задача 24 Найдите площадь фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ:15

1

4

3

1

1

Задача 25 Найдите площадь фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ:13.

4

3

2

1

1

2

2

х

у

а

в

с

к

m

n

d

Вычисление площади фигуры по координатам

Задача 26 Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 1), (4; 4), (5;1).

Ответ: 6

4

3

Задача 27 Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1; 0), (0; 2), (4; 4), (5; 2) .

Ответ: 10

5

2

Задача 28 Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Ответ: 24

• Сторон
• Диагоналей
• Высот
• Углов

Вычисление элементов фигуры

Задача 29

• Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами
4 и 16.

Ответ: 8

16

4

S=64

Задача 30

• Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 8.

Ответ: 4

√8

√8

4

Задача 31 Площадь прямоугольного треугольника равна 21. Один из его катетов равен 6. Найдите другой катет.

Ответ:7.

6

S=21

Задача 32 Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее площадь равна 160. Найдите периметр трапеции.  

Ответ:60

14

26

8

6

6

10

10

S=160

8

Задача 33

• Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Ответ: 2

Метод координат

О

А

В

С

(х₁; у₁)

(х₂; у₂)

(х; у)

Длина отрезка:

АВ=√(х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²

Координаты середины отрезка:

х= (х₁+х₂):2 у= (у₁+у₂):2

Угловой коэффициент k=tg α прямой у=kx+b.

у=kx+b

α

Задача 29 1.Найдите длину отрезка, соединяющего точки: В(-2;2)и A(6, 8); 2. Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси абсцисс; 3. Найдите расстояние от точки В до оси ординат. 4. Найдите ординату середины отрезка АВ. 5.Найти ординату точки, симметричной точке А относительно оси ОУ; 6. Найти абсциссу точки, симметричной точке А относительно начала координат.

Ответ:10

Ответ:8

Ответ:2

Ответ:5

Ответ:8

Ответ:-6

Задача 34

• Окружность с центром в начале координат проходит через точку
P(8, 6). Найдите ее радиус.

Ответ:10.

R

6

8

Задача 35

• Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (8, 0), (0, 6), (8, 6).

Ответ:5.

R

M

Задача 36 Найдите :

• 1)угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами(2, 0) и (0, 2);
• 2) угол между
прямой и осью ОХ.

Ответ:135.

Ответ:-1.

α

2

2

Задача 37

• Точки O(0, 0), A(6, 8), B(6, 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.

Ответ:6.

Задача 38

• Точки O(0, 0), A(10, 8), B(8, 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

Ответ:2.

10

8

2

Координаты вектора АВ(х = х₁ - х₂; у = у₁- у₂)

Длина вектора АВ = √х² + у²= √(х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²

Координаты суммы векторов а+b(х₁+х₂ ;у₁+у₂)

Координаты разности векторов а-b(х₁-х₂ ;у₁-у₂)

Координаты вектора умноженного на число:

Векторы

В(х₁; у₁)

А(х₂; у₂)

а(х₁; у₁)

b(х₂; у₂)

kа(kх₁; kу₁)

kа(kх₁; kу₁)

Задача 39 Найдите : 1) ординату вектора а; 2)квадрат длины вектора а; 3) квадрат длины вектора а-b; 4) длину вектора а+b.

Ответ:6

Ответ:40

Ответ:40

Ответ: 10√2

Задача 40

• Вектор с началом в точке A(2, 4) имеет координаты (6, 2). Найдите абсциссу точки B.

Ответ:8

8

Задача 41

• Две стороны прямоугольника ABCD равны 8 и 6 . Найдите длину суммы векторов АВ и АД.

Ответ:10

8

6

Задача 42

• Диагонали ромба ABCD равны 8 и 12. Найдите длину разности векторов:
1)АВ-АД; 2)АД-АВ; 3)АД+АВ. .

Ответ:8

8

12

Ответ:8

Ответ:12

• Удачи и успехов!