Презентация "Третий признак равенства треугольников"


Подписи к слайдам:
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

  • Создатель презентации учитель математики Старогутнянской школы
  • Авдащенко Василий Александрович

Прежде необходимо вспомнить

  • Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданной расположении относительно данной полупрямой. (аксиома IV3)
  • В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. (теорема 3.5)
  • Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. (теорема 2.3)
  • Доказательство от противного.

Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трем сторонам)

  • Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство
  • По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство
  • По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
  • Допустим, что вершина С2 не лежит
  • ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство
  • По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
  • Допустим, что вершина С2 не лежит
  • ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство
  • По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
  • Допустим, что вершина С2 не лежит
  • ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
  • Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
  • – равнобедренные с общим основанием С1С2.
  • По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
  • перпендикулярны прямой C1C2.

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство
  • По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
  • Допустим, что вершина С2 не лежит
  • ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
  • Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
  • – равнобедренные с общим основанием С1С2.
  • По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
  • перпендикулярны прямой C1C2.
  • А так как через точку D прямой С1С2 можно провести только
  • одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка D по построению не лежит на прямой А1В1.

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство
  • По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
  • Допустим, что вершина С2 не лежит
  • ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
  • Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
  • – равнобедренные с общим основанием С1С2.
  • По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
  • перпендикулярны прямой C1C2.
  • А так как через точку D прямой С1С2 можно провести только
  • одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка D по построению не лежит на прямой А1В1.
  • Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче А1С1, либо на луче В1С1.

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство
  • По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
  • Допустим, что вершина С2 не лежит
  • ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
  • Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
  • – равнобедренные с общим основанием С1С2.
  • По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
  • перпендикулярны прямой C1C2.
  • А так как через точку D прямой С1С2 можно провести только
  • одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка D по построению не лежит на прямой А1В1.
  • Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче А1С1, либо на луче В1С1.
  • В первом случае точка С2 совпадает с С1, так как А1С1 = АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.

  • Признак равенства треугольников по трем сторонам
  • Дано: АВС и А1В1С1
  • АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
  • ---------------------------------------------------
  • Доказать: АВС = А1В1С1
  • Доказательство
  • По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
  • Допустим, что вершина С2 не лежит
  • ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
  • Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
  • – равнобедренные с общим основанием С1С2.
  • По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
  • перпендикулярны прямой C1C2.
  • А так как через точку D прямой С1С2 можно провести только
  • одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка D по построению не лежит на прямой А1В1.
  • Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче А1С1, либо на луче В1С1.
  • В первом случае точка С2 совпадает с С1, так как А1С1 = АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
  • Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Теорема доказана.

Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трем сторонам)

  • Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны