Открытый урок "Перпендикулярность прямой и плоскости"

ГПОУ «Усинский политехнический техникум»
Открытый урок по геометрии
Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости».
Выполнил: преподаватель математики Мельникова Е.А.
Усинск, 2016 г.
Тип урока: Урок-семинар
Цели урока:
1. Обобщить, закрепить и систематизировать знания обучающихся по данной теме,
умения применять эти знания при решении задач; показать практическую значимость
изучаемого материала; изучить связь между отношениями параллельности и
перпендикулярности в пространстве; показать межпредметную связь.
2. Воспитывать культуру устной и письменной речи, способствовать воспитанию
эстетического вкуса, прививать интерес к предмету математики.
3. Развивать пространственное и логическое мышление.
Оборудование к уроку: карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи,
задания группам, ПК, проектор.
План урока.
I. Организация учащихся.
Обучающимся предлагаются карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи и
производится деление на 3 группы.
II. Постановка целей и задач урока.
Говорят, что математика- наука неинтересная, что математика - сухая наука, что о ней можно
говорить только в кабинете математики, на уроке. Нет, жизнь доказывает обратное: математика
повсюду вокруг нас. Послушайте, что пишет об этом Роман Бухараев в стихотворении “Геометрия
трав”.
Математик несбывшийся, странник,
Оглянись, удивляясь стократ:
В травах - срез волчеца - пятигранник,
А в сеченьи душицы – квадрат.
Все на свете покажется внове
Под гольцом, чья вершина в снегу:
Водосбор - треуголен в основе
На цветущем альпийском лугу!
Где же круг?
Возле иглистой розы.
Там, где луг поднебесный скалист,
Вижу, с ветром играет березы
Треугольно-ромбический лист.
Но я соглашусь с тем, что математика наука точная, требующая четкости определений и
доказательства фактов. И поэтому сейчас предлагаю от лирики перейти к практике.
Вы изучили очень важную тему геометрии “Перпендикулярность прямой и плоскости”. В
результате изучения этой темы вы должны:
- знать определения перпендикулярных прямых и прямой, перпендикулярной к
плоскости.
- уметь формировать и доказывать теоремы (прямую и обратную) о параллельных
прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости, признак перпендикулярности прямой
и плоскости, теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.
- Решать задачи типа 119, 121, 126, 128, 131 (уч. “Геометрия 10-11”, автор Атанасян
Л.С.)
Преподаватель знакомит с целями урока.
III. Закрепление знаний и умений.
На уроке будут работать 3 группы «Теоретики», «Практики», «Исследователи».
Преподаватель дает задание группам, приготовленное на листах. Указывает на порядок
оценивания.
Перед началом работы групп фронтальная проверка готовности.
1. Каково может быть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве? (Прямые
могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.)
2. Какие две прямые называют параллельными? (Параллельные прямые
называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не
пересекаются.)
3. Какие две прямые называют скрещивающимися? (Прямые называются
скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость
пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.)
4. Если угол между двумя прямыми 90
0
, как их называют? (Перпендикулярные прямые)
5. Какую прямую называют перпендикулярной к плоскости?
(Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если
она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
6. Верно ли утверждение:
a) Любая прямая перпендикулярная к плоскости, пересекает эту плоскость? (верно)
b) Любая прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к этой плоскости? (неверно)
c) Если прямая не перпендикулярна к данной плоскости, то она не пересекает эту плоскость?
(неверно)
Прямая а параллельна прямой в и не пересекает плоскость ?. Может ли прямая в быть
перпендикулярной к плоскости ? Ответ обоснуйте. (не может быть, т.к если прямая в будет
перпендикулярной плоскости, то и прямая а тоже перпендикулярна плоскости, что
невозможно, т.к по условию прямая а не пересекает плоскость, следовательно она
параллельна плоскости )
Далее начинают работу группы.
1. Задания для группы «Теоретики».
Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано:a
b, a
c
Доказать: b
c
Доказательство:
Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС,
параллельные соответственно прямым а и с. Так как а
с, то
АМС=90
о
.
По условию, b
a, а по построению а
МА, поэтому b
МА.
Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90
о
,
т.е. b
МА, с
МС, угол между МА и МС равен 90
о
Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90
о
, то есть b с. Лемма доказана.
Доказать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых,
перпендикулярных к плоскости.
Теорема: (прямая) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и
другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Запись на доске и в тетрадях:
Дано: а
а1, а
α
Доказать, что а1
α
Доказательство: