Презентация "Красивые задачи в математике" 9 класс

Вступление Человек немыслим без такого качества, как восприятие мира в его красоте и гармонии. Поэтому сегодня одним из основных направлений развития школы является поворот обучения к человеку, его ценностному потенциалу. Известно, что решение задачи – одно из основных средств математического развития школьников. Каждая математическая задача служит конкретным целям обучения, но основная её цель – развитие творческого и математического мышления, формирование и развитие эстетического вкуса. Вступление Многие планиметрические задачи напрямую связаны с понятием "красивая", то есть "доставляющая наслаждение, приятная внешним видом, гармоничностью, стройностью". Решение "красивых" задач должно быть наглядно, неожиданно, просто. Задачи, удовлетворяющие такому требованию неизменно вызывают интерес и побуждают к поиску более коротких и простых путей решения, что способствует развитию креативности. Вступление «Красота» задачи по решению проявляется в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения. При решении планиметрических задач редко используют метод, основанный на применении описанной окружности. Я покажу на примерах «красоту решения» именно с использованием этого метода. Свойство медианы прямоугольного треугольника В учебнике «Геометрия 7-9» много вопросов вызывает задача № 231: медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. Существует несколько способов доказательства этого утверждения. На мой взгляд , применение описанной окружности – один из самых красивых способов решения.

Дано:

Доказать:

- прямоугольный.

А

С

В

М

АМ – медиана,

Доказательство:

А

С

В

М

Опишем около треугольника АВС окружность. Так как АМ – половина ВС, по точка М равноудалена от вершин треугольника, значит, М - центр описанной окружности. Поэтому ВС – диаметр, а дуга ВС равна 1800.

- прямоугольный.

Справедливо и обратное утверждение Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

А

С

В

М

Дано:

- прямоугольный,

АМ – медиана.

Доказать:

Доказательство:

А

С

В

М

Опишем около треугольника АВС окружность. Так как треугольник АВС – прямоугольный, то значит,

ВС – диаметр, М – центр окружности,

Применение окружности для решения задач ОГЭ по математике ОГЭ 2017, вариант 3 № 25. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы ВВ1С1 и ВСС1 равны.

Дано:

Доказать:

- остроугольный, АА1 и ВВ1 - высоты.

Доказательство:

опирается на ВС,

опирается на ВС,

около четырехугольника В1СВС1 можно описать окружность с диаметром ВС.

(как вписанные, опирающиеся на одну дугу ВС1)

Применение окружности для решения задач ОГЭ по математике ОГЭ 2017, вариант 21 № 25. В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.

Дано:

Доказать:

- тупой. АА1 и ВВ1 - высоты.

Доказательство:

опирается на АВ,

опирается на АВ,

около четырехугольника А1АВВ1 можно описать окружность с диаметром АВ.

(вертикальные)

по I признаку подобия.

Свойство биссектрисы угла треугольника

• Доказать, что квадрат биссектрисы любого угла треугольника равен разности произведений сторон треугольника, образующих избранный угол и отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Опишем около треугольника АВС окружность и обозначим точку пересечения биссектрисы АК с окружностью обозначим буквой D.

Рассмотрим треугольники ABK и CDA. В них углы BАК и DАС равны по условию, а углы АВК и АDC равны, потому что опираются на одну и туже дугу АС. Значит, эти треугольники подобны по двум углам, следовательно, составим пропорцию:

Воспользуемся теоремой об отрезках пересекающихся хорд:

Из (1) и (2) получаем:

Применение формулы Доказанную задачу можно рассматривать как теорему. Формула для вычисления длины биссектрисы угла треугольника часто используется при решении других задач. В сборнике задач по математике под редакцией М. И. Сканави я нашел пример задачи, при решении которой удобно применить полученную формулу: № 10. 368 Вычислить длину биссектрисы угла A треугольника ABC с длинами сторон а = 18 см, b = 15 см и c =12 см Дано: Дано:

Найти:

Решение: чтобы воспользоваться результатом доказанной теоремы, найдем отрезки СК и BК. По теореме о биссектрисе угла треугольника имеем:

Ответ: 10 см.

Заключение В данной работе рассмотрено решение планиметрических задач с помощью понятия описанной окружности. Этот метод упрощает процесс решения, делает его наглядным, простым, «красивым». Источники информации

• Шаблон презентации presen.ru
• Изображения License Some rights reserved by zaveqna
• Видеоресурсы « Красивые идеи красивых задач в школьной геометрии» Рафаил Калманович Гордин https://www.youtube.com/watch?v=L0Po61NA65s

Источники информации

• Литература:
• ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И. В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование». 2017
• Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян. В. Ф. Бутузов. С. Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2009
• Сборник задач по математике для поступающих во втузы под редакцией М. И. Сканави. – М.: ООО «Издательство «Мир и образование»: ООО «Издательство «ОНИКС – ЛИТ», 2013