Презентация "Метод координат при решении стереометрических задач" 11 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 г.Козьмодемьянска Метод координат при решении стереометрических задач урок геометрии, 11 класс Автор: Уртюкова Мая Андреевна, учитель математики Задача№1. Точка К – середина ребра АА1 куба АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми А1В и СК.

D

А

В

С

А1

D1

С1

В1

1

1

2

К

a

1

2

1

2

1

5

2

5

2

1способ

Точка К – середина ребра АА1 куба АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми А1В и СК.

D

А

В

С

А1

D1

С1

В1

1

1

1

2

К

a

1

2

1

2

1

5

2

5

2

3

2

Составляем теорему косинусов для стороны KD1:

Из треугольника

Угол между прямыми

- направляющий вектор прямой а

- направляющий вектор прямой b

- угол между прямыми

Задача№1. Точка К – середина ребра АА1 единичного куба АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми А1В и СК.

2 способ

D

А

В

С

А1

D1

С1

В1

К

х

y

z

?

(1;0; )

1

2

?

(1;1;0)

?

(0;1;0)

?

(1;0;1)

1

1

1

1

Правильная четырехугольная пирамида. Найдите координаты вершин пирамиды

h

х

y

z

h

О

B(0,5; 0,5; 0)

С(-0,5; 0,5; 0)

D(-0,5; -0,5; 0)

А(0,5; -0,5; 0)

1

1

Угол между прямой и плоскостью

- направляющий вектор прямой

- нормальный вектор плоскости

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1

(АВ = AD = 2, АА1 = 1). Найти угол между прямой АС1 и плоскостью АВ1С.

Ответ:

х

у

z

C

D

A

B

C1

D1

A1

B1

Уравнение плоскости

Если плоскость проходит через начало координат, то d=0

Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то

уравнение плоскости в отрезках

Задача№2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1 (АВ = AD = 2, АА1 = 1). Найти угол между прямой АС1 и плоскостью АВ1С.

х

у

z

C

D

A

B

C1

D1

A1

B1

1

2

2

Рассмотрим случай, когда точки А,В1,С лежат на координатных осях.

Тогда уравнение плоскости АВ1С имеет вид:

Угол между плоскостями

Вектор нормали плоскости

Вектор нормали плоскости

Задача №3. В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1. (Обсудить нахождение линейного угла двугранного угла).

D

А

В

C

A1

D1

C1

B1

2

a

2

3

2

3

2

O

P

E

5

F

FPC – линейный угол

двугранного угла FBOC

В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

2 способ.

D

А

В

A1

D1

C1

B1

2

2

3

2

E

5

F

z

y

x

E(2;0;3), B(2;2;0),

(0;0;5).

{0; 0;5},

2a+3c+d=0 a=c

5c+d=0 d=-5c

2a+2b+d=0 b=1,5c

2x+3y+2z-10=0

{2;3;2}

1 способ решения.Прямая СС1 является наклонной к плоскости ВС1D. Найдем проекцию СС1 на плоскость ВС1D.

D

А

В

С

А1

D1

С1

Самостоятельная работа. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой АА1 и плоскостью ВС1D.

1вариант- используя определение прямой и плоскости

2 вариант- методом координат

a

В1

2

2

О

наклонная

1

1

1

K

СC1 C1K,

Для нахождения более удобен , а не .

проекция

Вывод: Координатный метод имеет преимущество перед другими способами тем, что основывается на применение формул, требует меньше стереометрических соображений.

Домашнее задание В кубе ABCD найдите угол между плоскостямии BD   Использованные источники

• Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с.
• http://uslide.ru
• http://nsportal.ru