Презентация "Этот простой, сложный параметр" 8 класс

• Подготовила: Гурьянова Ирина,
• обучающаяся 8 «А» класса
• МБОУ «Акбулакская СОШ №2»
• Руководитель: Гришанова Е.С., учитель математики МБОУ «Акбулакская СОШ №2»
•  

Объект исследования: уравнения

• Объект исследования: уравнения
• Предмет исследования: уравнения с параметрами
• Проблема: изучение решения уравнений с параметрами и создание сборника задач с параметрами для подготовки к ОГЭ
• Методы исследования: изучение литературы, сравнение, обобщение, аналогия, анализ и классификация информации

Цель: создать сборник задач с параметрами

•  Задачи:
• - Анализ учебной литературы по данной теме
• - Описание решений различных уравнений с параметром
• - Начать подготовку к ОГЭ

• 1. Уравнения, содержащие параметр
• Переменные a, b, c, ..., k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, x – действительной переменной величиной, а само уравнение называется уравнением с одним неизвестным, содержащим параметры.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

• Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
• а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
• б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

7 класс

• 7 класс
• 1. Найдите все целые значения a, при которых корень уравнения ax = 6 является целым числом.
• 2. При каком значении a точка A(a; -1,4) принадлежит графику прямой пропорциональности y = 3,5x?

8 класс

• 8 класс
• Известно, что график функции y = k/x проходит через точку A(10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку:
• а) B(1; 24); б) C(-0,2; -120)?
• В уравнении x2 + px – 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.
• 3. Один из корней уравнения x2 – 13x +q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.

9 класс

• 9 класс
• 1. При каких значениях b и c вершиной параболы y = x2 + bx + c является точка (6; -12)?
• Решение: применим формулу для вычисления абсциссы вершины параболы m = - b/2a
• Получим: 6 = - b/2, b = - 12. Координаты точки (6;-12) удовлетворяют уравнению y = x2 + bx + c. Подставим их и найденное значение b в данное уравнение. Получим: -12 = 36 – 72 + c, c = 24
• 2. При каком значении a осью симметрии параболы
• y = ax2 – 16x + 1 является прямая x = 4?
• Решение: абсциссой вершины параболы является
• m = 4. Применим формулу для вычисления абсциссы вершины параболы: m = - b/2a. Получим: 4 = 8/a, a = 2

Пример 1. При каких значениях с уравнение х2+2х+с=0 не имеет корней?

• Пример 1. При каких значениях с уравнение х2+2х+с=0 не имеет корней?
• Решение: Если уравнение не имеет корней, то D<0.
• D=4-4с, D<0, то 4-4с<0, -4с<-4, с>1.
• Значит при с>1 уравнение не имеет корней.
• Ответ: если с>1, то уравнение не имеет корней.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

• Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
• Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Тип 3 Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

• Тип 3 Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
• Тип 4 Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Способ I (аналитический) 

• Способ I (аналитический) 
• Это способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
• Способ II (графический)
• В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
• Способ III (решение относительно параметра)
• При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым.

Алгоритм решения

• Алгоритм решения
• линейного уравнения с параметром:
• Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид Ax= B.
• Исследовать коэффициент уравнения (если он содержит параметр) на равенство нулю (A = 0, A ≠ 0).
• Исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра (уравнение имеет единственный корень, бесконечное множество корней, не имеет корней).
• Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Пример 1. Решить уравнение ax = 1.

• Пример 1. Решить уравнение ax = 1.
• Решение: На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: x = . Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
• Ответ. Если a = 0, то нет решений; если a ≠ 0, то x = .

Алгоритм решения

• Алгоритм решения
• квадратного уравнения с параметром:
• Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид квадратного уравнения относительно неизвестного: ax2 + bx + c = 0;
• Исследовать коэффициент уравнения при x2, если он содержит параметр, на равенство нулю (a = 0, a ≠ 0);
• Определить вид уравнения и исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра:
• - если a = 0, то уравнение линейное и необходимо найти его корни в соответствии с алгоритмом решения линейного уравнения;
• - если a ≠ 0, то уравнение квадратное. Исследовать наличие корней и найти их при каждом фиксированном значении параметра из условия, что D >0, D < 0, D = 0.
• 4. Собрав ранее полученные результаты в зависимости от значений параметра, записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Пример 1. При каких a уравнение ax2 – x + 3 = 0 имеет единственное решение?

• Пример 1. При каких a уравнение ax2 – x + 3 = 0 имеет единственное решение?
• Решение: 1) Рассмотрим случай, когда a = 0, то данное уравнение примет вид: -x + 3 = 0, то оно является линейным и имеет единственное решение x = 3.
• 2) Если a ≠ 0, то имеем квадратное уравнение.
• D = 1 – 12a.
• Чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы D = 0. 1 – 12a = 0, a = 1/12.
• Ответ: Уравнение имеет единственное решение при a = 0 или a = 1/12.

Пример 1. Решить уравнение

• Пример 1. Решить уравнение
• Решение: Данное уравнение равносильно системе
• x – a = 0
• x ≠ 1 x = a – единственный корень. Понятно, что условие
• x ≠ 1 влечет за собой требование a ≠ 1. Следовательно, если a ≠ 1, то x = a; если a = 1, то уравнение не имеет решений.
• Ответ. Если a ≠ 1, то x = a; если a = 1, то уравнение не имеет решений.

Алгоритм решения дробных

• Алгоритм решения дробных
• рациональных уравнений с параметром
• Привести уравнение к целому виду
• Исследовать решение целого уравнения при каждом фиксированном значении параметра, применив алгоритм решения линейного и квадратного уравнений с параметром
• Провести исследование знаменателя на наличие посторонних корней (выяснить, при каких значениях параметра полученные корни обращают знаменатель в ноль)
• Собрав ранее полученные результаты в зависимости от значений параметра, записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Задачи с параметром являются прообразами тех научно – исследовательских заданий, которыми предстоит заниматься будущим студентам на разных этапах профессиональной подготовки.

• Задачи с параметром являются прообразами тех научно – исследовательских заданий, которыми предстоит заниматься будущим студентам на разных этапах профессиональной подготовки.
• Теоретическое изучение и математическое моделирование процессов в различных областях человеческой деятельности часто приводит к сложным задачам, в которых «много» различных неизвестных, которые по существу и представляют собой параметры.

Список использованных источников

•  Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.
• Домбровская Т.В. Задания с параметром. Томск: ТОИПКРО.
• Домбровская Т.В. Учебно-методический сборник тестовых заданий по алгебре, 9 класс. Томск: ТОИПКРО, 2005.
• Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс. М.: Дрофа, 2002.
• Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ. 9 класс. Экспериментальная экзаменационная работа. Типовые тестовые задания. М.: Издательство «Экзамен», 2006.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учебник для 7,8,9 кл. общеобразоват. Учреждений. М.: Просвещение, 2004.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 кл. М.: Просвещение, 1997.
• Фальке Л.Я., Лисничук Н.Н., Крыжановская Е.Н. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005.