Конспект урока по алгебре "Методы решения квадратных уравнений" 8 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
основная общеобразовательная школа № 34
муниципального образования Каневской район
Конспект урока по алгебре
в 8 классе по теме
«Методы решения квадратных уравнений»
подготовил
учитель математики
Донченко Олег Юрьевич
ст. Новоминская
2017
2
Тема урока: Решение квадратных уравнений размыми методами.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Цель урока: обобщение и систематизация способов решения квадрат-
ных уравнений, формирование умения выбора рационального способа.
Формируемые результаты:
Предметные:
формировать умение решать квадратные уравнения раз-
ными методами.
Личностные:
развивать готовность к самообразованию и решению твор-
ческих задач.
Метапредметные:
формировать умение определять способы действий в
рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия
в соответствии с изменяющейся ситуацией.
Планируемые результаты: учащиеся вспомнят и научатся решать
квадратные уравнения.
ХОД УРОКА
I.
Организационный момент
Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: «Дороги не те
знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые пре-
вращаются в умственные мышцы».
Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.
II.
Сообщение темы и цели урока
Посмотрите на доску. Это лишь некоторые задания экзаменационной
работы 9 класса. На сегодняшний день мы не знаем многих тем и алгоритмов
решения некоторых заданий.
Но как вы думаете, что их объединяет?
Для их выполнения нужно уметь решать квадратные уравнения.
Применение тестовой системы приводит к необходимости в быстром ре-
шении уравнений. Поэтому мы должны научиться приемам, которые помогут
экономить время и эффективно решать квадратные уравнения.
А что для этого нужно знать? (способы решения квадратных уравне-
ний).
Тема урока «Решение квадратных уравнений размыми методами».
3
Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя
из его темы?
Другими словами обобщить и систематизировать весь предшествующий
опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо? (Для возмож-
ности выбора рационального пути решения).
Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, на-
учиться выбирать рациональный путь решения.
III.
Обобщение и систематизация знаний
Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения.
Какое уравнение называется квадратным?
От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
По какой формуле вычисляется дискриминант?
Заполните схему (рис. 1)
Рисунок 1 – Схема
Понятие
дискриминант
придумал английский ученый Сильвестр, он
называл себя даже «математическим Адамом» за множество придуманных
терминов.
Проверим составленную таблицу.
4
та.
Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминан-
Задание:
Вычислите дискриминант и укажите количество корней урав-
нения 2, 1 или 0.
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
Дискриминант
Число корней
𝑎
2
6
𝑎
+ 9 = 0
𝑎
2
2
𝑎
+ 3 = 0
𝑎
2
+ 7
𝑎
1 = 0
𝑎
2
6
𝑎
12 = 0
3
𝑎
2
+
𝑎
2
=
0
Дискриминант и число корней приведено в следующей таблице.
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
Дискриминант
Число корней
𝑎
2
6
𝑎
+ 9 = 0
0
1
𝑎
2
2
𝑎
+ 3 = 0
8
0
𝑎
2
+ 7
𝑎
1 = 0
45
2
𝑎
2
6
𝑎
12 = 0
12
2
3
𝑎
2
+
𝑎
2
=
0
25
0
Можно ли, не решая уравнения, определить, имеет ли оно корни или
нет? (Да, можно. Уравнение всегда имеет корни, если первый коэффициент
и свободный член имеют противоположные знаки.)
А если они одного знака? огда надо находить дискриминант.)
Дети, давайте теперь перейдем к методам решения квадратных урав-
нений.
1)
Применение формул корней квадратного уравнения
Задание:
Решите уравнение (самостоятельно):
2
𝑎
2
+ 5
𝑎
7 = 0
.
К какому виду относится следующее квадратное уравнение:
𝑎
2
7
𝑎
= 8
? (Приведенное).
2)
Подбор корней с применением теоремы Виета
Какую теорему используют для решении приведенных квадратных
уравнений? (т. Виета)
5
𝑎
𝑎
Давайте встомним теорему Виета.
«Если
числа
𝑎
и
𝑎
таковы,
что
их
сумма
равна
𝑎
,
а
произведение
равно
𝑎
,
то
эти
числа
являются
корнями
уравнения
𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
=
0
».
Задание:
Найдите корни квадратного уравнения
𝑎
2
7
𝑎
= 8
(
𝑎
1
=
1
,
𝑎
2
= 8
).
Задание:
Пу
сть
𝑎
1
и
𝑎
2
к
орни
квадратного
уравнения
𝑎
2
+7
𝑎
11
=
0
.
Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1
+
1
.
1
𝑎
1
1
+
𝑎
2
=
𝑎
1
+
𝑎
2
𝑎
1
·
𝑎
2
=
7
=
11
𝑎
1
7
11
𝑎
2
Какую теорему применили?
3)
Применение свойств коэффициентов
Задание: Решая уравнения, заполните таблицы.
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
𝑎
𝑎
+
𝑎
+
𝑎
𝑎
1
2
𝑎
2
+ 5
𝑎
7 = 0
2
7
0
1
4
𝑎
2
9
𝑎
+ 5 = 0
4
5
0
1
9
𝑎
2
4
𝑎
5 = 0
9
5
0
1
7
𝑎
2
𝑎
6 = 0
7
6
0
1
ВЫВОД:
Если в квадратном уравнении
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
сумма коэффи-
циентов равна нулю (𝑎 +
𝑎
+
𝑎
= 0), то один из корней равен 1, а другой
𝑎
.
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
+
𝑎
𝑎
1
𝑎
2
+
7
𝑎
8
=
0
1
8
0
1
3
𝑎
2
2
𝑎
5 = 0
3
5
0
1
2
𝑎
2
𝑎
3 = 0
2
3
0
1
10
𝑎
2
+ 3
𝑎
7 = 0
10
7
0
1
ВЫВО
Д:
Пу
с
т
ь
дано
квадратное
уравнени
е
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
=
0
.
Если
𝑎
𝑎
+
𝑎
=
0
или
𝑎
=
𝑎
+
𝑎
,
то
𝑎
1
=
1
,
𝑎
2
=
𝑎
.
Давайте в тетрадях запишем сводную таблицу для способа примене-
ния свойств коэффициентов.
Уравнение
Свойство коэффициентов
Корни уравнения
6
𝑎
𝑎
Продолжение таблицы 5
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
+
𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
1
= 1
,
𝑎
2
=
𝑎
𝑎
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
𝑎
+
𝑎
= 0
или
𝑎
=
𝑎
+
𝑎
𝑎
1
=
1
,
𝑎
2
=
𝑎
𝑎
Это ещё один способ решения квадратных уравнений.
Задание:
Выберите уравнения, которые можно решить, используя эти
свойства. Запишите корни.
а)
203
𝑎
2
+ 220
𝑎
+ 17 = 0
б)
5
𝑎
2
9
𝑎
+ 4 = 0
в) 𝑎
2
+
6𝑎
16
=
0
г)
25
𝑎
2
20
𝑎
5 = 0
д)
2
𝑎
2
11
𝑎
+ 15 = 0
Чем удобен это способ? (позволяет устно найти корни уравнения).
Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть
еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных ме-
тодов в отдельности. И оценим его «перспективы».
4)
Метод «переброски» старшего коэффициента
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
=
0
,
а
приведенное
𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎𝑎
=
0
,
к
оторое
получаетс
я
из
данного
«переброск
ой»
к
оэффициент
а
𝑎
,
а
затем
разделить
найденные
к
орни
на
𝑎
для
нахождения корней исходного уравнения:
𝑎
1
=
𝑎
1
и
𝑎
2
=
𝑎
2
.
Пример:
Решите уравнение
2
𝑎
2
9
𝑎
5 = 0
.
Решение:
Заменим приведенным квадратным уравнением с «переброс-
кой» коэффициента
𝑎
:
𝑎
2
9
𝑎
5
·
2
=
0
𝑎
2
9
𝑎
10
=
0
Р
ешив
это
уравнение,
получим:
𝑎
1
=
10
,
𝑎
2
=
1
.
Вернемся к корням исходного уравнения:
𝑎
1
=
𝑎
1
=
𝑎
10
= 5
, 𝑎
2
=
2
𝑎
2
=
𝑎
1
=
0, 5
2
Ответ:
𝑎
1
= 5
, 𝑎
2
=
0
,
5
Задание:
Решите уравнение
𝑎
2
4
𝑎
+ 3 = 0
различными методами.
7
У доски 5 обучающихся. Метод, которым придется решать, написан в
произвольно выбираемой карточке:
1)
по общей формуле;
2)
по формуле с четным вторым коэффициентом;
3)
по теореме Виета;
4)
по сумме коэффициентов;
5)
графическим способом.
Каким из способов проще и быстрее решить данное уравнение?
Задание: Тестирование с самопроверкой.
Чтобы проверить, как вы умете применять полученные знания вы-
полним тест. (Приложение 1.)
Время выполнения теста 57 минут. Выпишите буквенный код в тет-
радь.
Номер задания
Вариант I
Вариант II
1
В
Г
2
Г
Б
3
Г
А
4
В
В
5
А
А
Свои предварительные результаты вы можете узнать уже сейчас.
Проверьте правильность выполнения заданий. Критерии выставлении оценки
следующие:
«5» 5 заданий
«4» 4 задания
«3» 3 задания
«2« 1–2 задания
IV.
Подведение итогов
Какие способы решения квадратных уравнений существуют?
Это, конечно, далеко не все способы решения квадратных уравнений.
Помните, что при решении уравнений, нужно выбирать наиболее раци-
ональный способ решения.
8
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1
Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре
за курс основной школы. 9 класс / Л. В. Кузнецова, Е. А. Бунимович, Б. П.
Пигарев, С. Б. Суворова. 14-е изд., стереотип. М. : Дрофа, 2008. 191,
[1] c. : ил.
2
Муравин, Г. К. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений /
Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. 15-е изд., стереотип.
М. : Дрофа, 2013. — 254, [2] c. : ил.
3
ЕГЭ-2012. Математика : типовые экзаменнационные варианты : 30
вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. М. : Национальное
оразование, 2011. 240 с. (ЕГЭ-2012. ФИПИ школе).
4
ГИА-2013. Математика : типовые экзаменнационные варианты : 30
вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. М. : Издательство
«Национальное образование», 2013. 192 с. (ГИА-2013. ФИПИ — школе).
5 Методические указания к решению конкурсных задач по математике.
Санкт-Петербург. 2004
6
Тесты математика, варианты и ответы централизованного (абитури-
ентского) тестирования, пособие для подготовки к тестированию. Москва.
2004
7
Брадис, В. М. Четырехзначные математические таблицы / В. М. Бра-
дис. 13-е изд., стереотип. М. : Дрофа, 2010. 93, [3] с. : ил.
8
Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. 12-е изд., стер.
М. : Мнемозина, 2010. 215 с. : ил.
9
Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся
общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г.
Мордковича. 12-е изд., испр. и доп. М. : Мнемозина, 2010. 271 с. :‘ил.
9
7
7
7
7
3
3
12
7
12
Приложение 1
Ф. И.
Вариант I
1.
Какое из чисел
2
,
1
,
3, 5 является корнем уравнения 4𝑎
2
11𝑎
3 = 0?
A.
1
Б.
2
В. 3 Г. 5
2.
Чему равна сумма корней уравнения
7
𝑎
2
19
𝑎
+ 4 = 0
?
A.
4
Б.
4
В.
19
Г.
19
3.
Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
A. 4𝑎
2
3𝑎
4 = 0
Б.
𝑎
2
+ 4
𝑎
+ 3 = 0
В.
9
𝑎
2
+ 6
𝑎
+ 1 = 0
Г.
5
𝑎
2
𝑎
+ 1 = 0
4.
Найдите корни квадратного уравнения
2
𝑎
2
3
𝑎
+ 1 = 0
.
A.
0
,
5;
1
Б.
0, 5;
1
В.
0, 5; 1
Г.
0
,
5; 1
5.
Ук
ажите
наибольший
к
орень
квадратного
уравнения
313
𝑎
2
326
𝑎
+
13
=
0
.
A.
1
Б.
13
В.
326
Г.
313
Ф. И.
Вариант II
1.
Какое из чисел 2, 1, 3,
1
является корнем уравнения
3
𝑎
2
+ 2
𝑎
1 = 0
?
A.
1
Б.
2
В.
3
Г.
1
2.
Чему равна сумма корней уравнения
12
𝑎
2
+ 7
𝑎
+ 1 = 0
?
7
Б.
7
В.
7
Г.
7
3.
Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
A.
𝑎
2
𝑎
+ 5 = 0
Б.
𝑎
2
+ 4
𝑎
+ 3 = 0
В.
2
𝑎
2
+ 6
𝑎
+ 4
,
5 = 0
Г.
2
𝑎
2
3
𝑎
8 = 0
4.
Найдите корни квадратного уравнения
5
𝑎
2
12
𝑎
+ 7 = 0
.
A.
1
,
4;
1
Б.
5
; 1
В.
1; 1, 4
Г.
0, 5; 1
5.
Ук
ажите
н
аибольший
к
орень
квадратного
уравнения
4271
𝑎
2
4272
𝑎
+
1
=
0
A.
1
Б.
4272
В.
4271
Г.
4272
A.