Презентация "Элементы квадратного уравнения" 8-9 класс

Элементы квадратного уравнения.

• Для подготовки к ГИА.
• Учитель математики Барсуков А. А.
• МБОУ Краснодесантская СОШ

Предисловие.

• В данном проекте автор специально не использовал теоретическое обоснование, а только выводы на их основе. Для более глубокого и полного изучения этой темы рекомендовано использовать пособия по математике для средней школы.

Общие сведения.

• У=ах2+вх+с
• -общий вид квадратной функции.
• Квадратное уравнение выглядит так: ах2+вх+с=0.
• Где «а» коэффициент при х2, «в» - при х, «с» свободный член.

• У=6х2 – 4х + 7

• Коэффициент а=6

• Коэффициент в = – 4

• Коэффициент с=7

Общие сведения.

• Корнями квадратного уравнения будем считать точки пересечения параболы-графика квадратной функции с осью ОХ (абсцисс).
• Обозначим эти точки
• х1 и х2.

• О х1 х2 Х

Общие сведения.

• Корень уравнения будет один, если парабола касается оси ОХ (абсцисс) в одной точке.

• О Х

Коэффициент «а».

• Коэффициент а – это коэффициент икса в квадрате. От него зависит направление ветвей параболы (вверх или вниз).

• 3х2 + 5х – 9=0

• коэффициент а = 3

Коэффициент «а».

• Если а>0
• (а - положительный), ветви параболы направлены вверх.
• Если а<0
• ( а - отрицательный), ветви направлены вниз.

• у=3х2
• а=3
• ветви
• вверх

• у=-4х2
• а=-4
• ветви вниз

Коэффициент «а».

• Для более удобных рассуждений и работы с коэффициентами «в» и «с» надо обратить внимание на знак коэффициента «а».
• Он должен быть больше ноля. Если «а» отрицательный, то поменяем все знаки в квадратном уравнении умножив его на минус один.

• Пример.
• –2х2 + 4х – 7=0 |•(-1),
• 2х2 – 4х + 7=0
• – все знаки поменяли
• на противоположные,
• коэффициент «а»
• теперь положительный,
• начинаем работу с
• коэффициентами «в» и «с».

Коэффициент «с».

• Коэффициент с - это свободный член (число без х).
• При помощи коэффициента «с» можно сделать вывод о знаках корней уравнения (х1 и х2).

• 3х2 + 5х – 9=0

• коэффициент с = –9

• 12 + 3х2 – 5х=0

• коэффициент с = 12

Коэффициент «с».

• Если коэффициент
• «с» положительный и а>0, то корни уравнения имеют одинаковые знаки (х1 и х2 лежат с одной стороны от ноля на оси ОХ -абсцисс),
• или уравнение имеет один корень.

• Один корень уравнения

• х1

• х2

• х1

• х2

• о х

• о х

• у

• у

• х

Коэффициент «с».

• Если коэффициент
• «с» отрицательный
• и а>0, то корни уравнения имеют разные знаки (х1 и х2 лежат с разной стороны от ноля на оси ОХ -абсцисс).

• 0 х

• у

• х1

• х2

Коэффициент «с».

• Если коэффициент
• с=0, то один корень равен нолю
• (график параболы проходит через начало системы координат точку 0).

• 0 х

• х1

• у

• х2=0

• х2 + 5х=0,
• с=0,
• х1= – 5, х2=0.

Коэффициент «в».

• Коэффициент в - это коэффициент икса (число перед х).
• При помощи коэффициента «в» можно сделать вывод о знаке корня квадратного уравнения с большим модулем (х1 или х2).

• 3х2 + 5х – 9=0

• коэффициент в = 5

• – 5х + 12 + 3х2=0

• коэффициент в = –5

Коэффициент «в».

• Корень квадратного уравнения находящийся дальше от ноля имеет больший модуль.

• 0

• С большим модулем х1 находится дальше от 0

• С меньшим модулем х2 находится
• ближе к 0

• х2

• Х

• х1

Коэффициент «в».

• Коэффициент «в» всегда имеет знак противоположный корню с большим модулем при сохранении условия а>0.

• Пример.
• 3х2 + 5х – 9=0,
• коэффициент в=5,
• следовательно корень
• уравнения с большим
• модулем будет
• с минусом.

• 0

• «в» - положительный,
• корень с большим модулем отрицательный

• корень
• с меньшим модулем
• может быть
• и положительным,
• и отрицательным

Коэффициент «в».

• Если
• коэффициент в=0,
• то корни квадратного уравнения будут с одинаковыми модулями и разными знаками
• (х1 и х2 расположены с разных сторон на одинаковом расстоянии от 0 на оси абсцисс).

• х

• о

• у

• х1

• х2

• х2 – 9=0,
• в=0,
• х1 и х2
• на одинаковом
• расстоянии
• от 0.

Дискриминант.

• При помощи дискриминанта можно установить количество корней квадратного уравнения или их отсутствие.
• Дискриминант вычисляется по формуле D=в2 – 4ас.

• Пример.
• 3х2 + 5х – 9=0,
• а = 3, в = 5, с = – 9,
• D=в2 – 4ас,
• D=52 – 4•3•(-9)=
• =25+108=133.

• Дискриминант D=133

Дискриминант.

• Если дискриминант больше ноля,
• то у квадратного уравнения два корня
• (две точки пересечения параболы с осью абсцисс).

• а>0,
• ветви вверх,
• D>0,
• два корня
• уравнения,
• две точки
• пересечения.

• а<0,
• ветви вниз,
• D>0,
• два корня
• уравнения,
• две точки
• пересечения.

• х1

• х1

• х2

• х2

• о

• о

• х

• у

• у

• х

Дискриминант.

• Если дискриминант равен нолю,
• то у квадратного уравнения один корень
• (одна общая точка параболы с осью абсцисс).

• а>0,
• ветви вверх,
• D=0,
• один корень
• уравнения,
• одна общая
• точка.

• а<0,
• ветви вниз,
• D=0,
• один корень
• уравнения,
• одна общая
• точка.

• о

• о

• у

• у

• х

• х

Дискриминант.

• Если дискриминант меньше ноля,
• то у квадратного уравнения нет корней
• ( общих точек параболы с осью абсцисс нет).

• у

• х

• о

• о

• у

• х

• а>0,
• ветви вверх,
• D<0,
• нет корней
• уравнения,
• нет общих
• точек с ОХ.

• а<0,
• ветви вниз,
• D<0,
• нет корней
• уравнения,
• нет общих
• точек с ОХ.

Пример.

• Какое из уравнений соответствует данному рисунку?
• а) 5х2 + 2х + 4=0
• б) – 2х2 – 6х – 3=0
• в) 2х2 + 6х – 4=0
• г) 2х2 – 6х + 2=0
• д) 2х2 – 6х – 2=0

• х

• о

• у

• D = – 76, D<0, нет корней,
• нет пересечения
• с ОХ.

• а = – 2, а<0, ветви
• направлены вниз.

• в=6, корень
• с большим модулем
• отрицательный.

• с=2, с>0, корни с одинаковыми знаками, точки пересечения с одной стороны от 0.

• Это уравнение соответствует рисунку.

Пример.

• 2х2 – 6х – 2=0 - это уравнение соответствует рисунку,
• так как:
• D=44, D>0, два корня уравнения, две точки пересечения;
• а=2, а>0, ветви направлены вверх;
• в = –6, корень уравнения с большим модулем положительный.
• с = –2, с<0, корни уравнения с разными знаками, х1 и х2 стоят с разных сторон от 0;

• о

• х

• у

• два корня уравнения
• с разных сторон от 0.

• ветви направлены вверх

• корень с большим модулем положительный

Проверь себя! (1)

• По рисунку определите, верно ли утверждение х1<0 и х2 >0?

• х

• у

• о

• Да

• Нет

Проверь себя! (2)

• По рисунку определите, верно ли утверждение D=0?

• х

• у

• о

• Да

• Нет

Проверь себя! (3)

• По рисунку определите, верно ли утверждения с=0?

• х

• у

• о

• Да

• Нет

Проверь себя! (4)

• По рисунку определите, верно ли утверждение один корень уравнения=0?

• х

• у

• о

• Да

• Нет

Проверь себя! (5)

• По рисунку определите, верно ли утверждение D > 0?

• х

• у

• о

• Да

• Нет

Проверь себя! (6)

• По рисунку определите, верно ли утверждение а>0?

• х

• у

• о

• Да

• Нет

Конец.

• Литература: учебники алгебры для средней школы авторских групп А. Г. Мордковича, Г. К. Муравина,
• Ш. А. Алимова.
• Экспертиза: учителей 1 категории
• МОУ Краснодесантской СОШ
• В. Н. Маличенко,
• С. В. Шувалов.

Примечание.

• Свои замечания и предложения высылайте на адрес [email protected].
• Используйте пожалуйста.
• Редактируйте по своему усмотрению.

Неправильно.

• Возврат к примеру.

• Переход к лекциям.