Презентация "Элементы квадратного уравнения" 8-9 класс


Подписи к слайдам:
Коэффициенты квадратной функции.

Элементы квадратного уравнения.

  • Для подготовки к ГИА.
  • Учитель математики Барсуков А. А.
  • МБОУ Краснодесантская СОШ

Предисловие.

  • В данном проекте автор специально не использовал теоретическое обоснование, а только выводы на их основе. Для более глубокого и полного изучения этой темы рекомендовано использовать пособия по математике для средней школы.

Общие сведения.

  • У=ах2+вх+с
  • -общий вид квадратной функции.
  • Квадратное уравнение выглядит так: ах2+вх+с=0.
  • Где «а» коэффициент при х2, «в» - при х, «с» свободный член.
  • У=6х2 – 4х + 7
  • Коэффициент а=6
  • Коэффициент в = – 4
  • Коэффициент с=7

Общие сведения.

  • Корнями квадратного уравнения будем считать точки пересечения параболы-графика квадратной функции с осью ОХ (абсцисс).
  • Обозначим эти точки
  • х1 и х2.
  • О х1 х2 Х

Общие сведения.

  • Корень уравнения будет один, если парабола касается оси ОХ (абсцисс) в одной точке.
  • О Х

Коэффициент «а».

  • Коэффициент а – это коэффициент икса в квадрате. От него зависит направление ветвей параболы (вверх или вниз).
  • 3х2 + 5х – 9=0
  • коэффициент а = 3

Коэффициент «а».

  • Если а>0
  • (а - положительный), ветви параболы направлены вверх.
  • Если а<0
  • ( а - отрицательный), ветви направлены вниз.
  • у=3х2
  • а=3
  • ветви
  • вверх
  • у=-4х2
  • а=-4
  • ветви вниз

Коэффициент «а».

  • Для более удобных рассуждений и работы с коэффициентами «в» и «с» надо обратить внимание на знак коэффициента «а».
  • Он должен быть больше ноля. Если «а» отрицательный, то поменяем все знаки в квадратном уравнении умножив его на минус один.
  • Пример.
  • –2х2 + 4х – 7=0 |•(-1),
  • 2х2 – 4х + 7=0
  • – все знаки поменяли
  • на противоположные,
  • коэффициент «а»
  • теперь положительный,
  • начинаем работу с
  • коэффициентами «в» и «с».

Коэффициент «с».

  • Коэффициент с - это свободный член (число без х).
  • При помощи коэффициента «с» можно сделать вывод о знаках корней уравнения (х1 и х2).
  • 3х2 + 5х – 9=0
  • коэффициент с = –9
  • 12 + 3х2 – 5х=0
  • коэффициент с = 12

Коэффициент «с».

  • Если коэффициент
  • «с» положительный и а>0, то корни уравнения имеют одинаковые знаки (х1 и х2 лежат с одной стороны от ноля на оси ОХ -абсцисс),
  • или уравнение имеет один корень.
  • Один корень уравнения
  • х1
  • х2
  • х1
  • х2
  • о х
  • о х
  • у
  • у
  • х

Коэффициент «с».

  • Если коэффициент
  • «с» отрицательный
  • и а>0, то корни уравнения имеют разные знаки (х1 и х2 лежат с разной стороны от ноля на оси ОХ -абсцисс).
  • 0 х
  • у
  • х1
  • х2

Коэффициент «с».

  • Если коэффициент
  • с=0, то один корень равен нолю
  • (график параболы проходит через начало системы координат точку 0).
  • 0 х
  • х1
  • у
  • х2=0
  • х2 + 5х=0,
  • с=0,
  • х1= – 5, х2=0.

Коэффициент «в».

  • Коэффициент в - это коэффициент икса (число перед х).
  • При помощи коэффициента «в» можно сделать вывод о знаке корня квадратного уравнения с большим модулем (х1 или х2).
  • 3х2 + 5х – 9=0
  • коэффициент в = 5
  • – 5х + 12 + 3х2=0
  • коэффициент в = –5

Коэффициент «в».

  • Корень квадратного уравнения находящийся дальше от ноля имеет больший модуль.
  • 0
  • С большим модулем х1 находится дальше от 0
  • С меньшим модулем х2 находится
  • ближе к 0
  • х2
  • Х
  • х1

Коэффициент «в».

  • Коэффициент «в» всегда имеет знак противоположный корню с большим модулем при сохранении условия а>0.
  • Пример.
  • 3х2 + 5х – 9=0,
  • коэффициент в=5,
  • следовательно корень
  • уравнения с большим
  • модулем будет
  • с минусом.
  • 0
  • «в» - положительный,
  • корень с большим модулем отрицательный
  • корень
  • с меньшим модулем
  • может быть
  • и положительным,
  • и отрицательным

Коэффициент «в».

  • Если
  • коэффициент в=0,
  • то корни квадратного уравнения будут с одинаковыми модулями и разными знаками
  • (х1 и х2 расположены с разных сторон на одинаковом расстоянии от 0 на оси абсцисс).
  • х
  • о
  • у
  • х1
  • х2
  • х2 – 9=0,
  • в=0,
  • х1 и х2
  • на одинаковом
  • расстоянии
  • от 0.

Дискриминант.

  • При помощи дискриминанта можно установить количество корней квадратного уравнения или их отсутствие.
  • Дискриминант вычисляется по формуле D=в2 – 4ас.
  • Пример.
  • 3х2 + 5х – 9=0,
  • а = 3, в = 5, с = – 9,
  • D=в2 – 4ас,
  • D=52 – 4•3•(-9)=
  • =25+108=133.
  • Дискриминант D=133

Дискриминант.

  • Если дискриминант больше ноля,
  • то у квадратного уравнения два корня
  • (две точки пересечения параболы с осью абсцисс).
  • а>0,
  • ветви вверх,
  • D>0,
  • два корня
  • уравнения,
  • две точки
  • пересечения.
  • а<0,
  • ветви вниз,
  • D>0,
  • два корня
  • уравнения,
  • две точки
  • пересечения.
  • х1
  • х1
  • х2
  • х2
  • о
  • о
  • х
  • у
  • у
  • х

Дискриминант.

  • Если дискриминант равен нолю,
  • то у квадратного уравнения один корень
  • (одна общая точка параболы с осью абсцисс).
  • а>0,
  • ветви вверх,
  • D=0,
  • один корень
  • уравнения,
  • одна общая
  • точка.
  • а<0,
  • ветви вниз,
  • D=0,
  • один корень
  • уравнения,
  • одна общая
  • точка.
  • о
  • о
  • у
  • у
  • х
  • х

Дискриминант.

  • Если дискриминант меньше ноля,
  • то у квадратного уравнения нет корней
  • ( общих точек параболы с осью абсцисс нет).
  • у
  • х
  • о
  • о
  • у
  • х
  • а>0,
  • ветви вверх,
  • D<0,
  • нет корней
  • уравнения,
  • нет общих
  • точек с ОХ.
  • а<0,
  • ветви вниз,
  • D<0,
  • нет корней
  • уравнения,
  • нет общих
  • точек с ОХ.

Пример.

  • Какое из уравнений соответствует данному рисунку?
  • а) 5х2 + 2х + 4=0
  • б) – 2х2 – 6х – 3=0
  • в) 2х2 + 6х – 4=0
  • г) 2х2 – 6х + 2=0
  • д) 2х2 – 6х – 2=0
  • х
  • о
  • у
  • D = – 76, D<0, нет корней,
  • нет пересечения
  • с ОХ.
  • а = – 2, а<0, ветви
  • направлены вниз.
  • в=6, корень
  • с большим модулем
  • отрицательный.
  • с=2, с>0, корни с одинаковыми знаками, точки пересечения с одной стороны от 0.
  • Это уравнение соответствует рисунку.

Пример.

  • 2х2 – 6х – 2=0 - это уравнение соответствует рисунку,
  • так как:
  • D=44, D>0, два корня уравнения, две точки пересечения;
  • а=2, а>0, ветви направлены вверх;
  • в = –6, корень уравнения с большим модулем положительный.
  • с = –2, с<0, корни уравнения с разными знаками, х1 и х2 стоят с разных сторон от 0;
  • о
  • х
  • у
  • два корня уравнения
  • с разных сторон от 0.
  • ветви направлены вверх
  • корень с большим модулем положительный

Проверь себя! (1)

  • По рисунку определите, верно ли утверждение х1<0 и х2 >0?
  • х
  • у
  • о
  • Да
  • Нет

Проверь себя! (2)

  • По рисунку определите, верно ли утверждение D=0?
  • х
  • у
  • о
  • Да
  • Нет

Проверь себя! (3)

  • По рисунку определите, верно ли утверждения с=0?
  • х
  • у
  • о
  • Да
  • Нет

Проверь себя! (4)

  • По рисунку определите, верно ли утверждение один корень уравнения=0?
  • х
  • у
  • о
  • Да
  • Нет

Проверь себя! (5)

  • По рисунку определите, верно ли утверждение D > 0?
  • х
  • у
  • о
  • Да
  • Нет

Проверь себя! (6)

  • По рисунку определите, верно ли утверждение а>0?
  • х
  • у
  • о
  • Да
  • Нет

Конец.

  • Литература: учебники алгебры для средней школы авторских групп А. Г. Мордковича, Г. К. Муравина,
  • Ш. А. Алимова.
  • Экспертиза: учителей 1 категории
  • МОУ Краснодесантской СОШ
  • В. Н. Маличенко,
  • С. В. Шувалов.

Примечание.

  • Свои замечания и предложения высылайте на адрес 2010aab@gmail.com.
  • Используйте пожалуйста.
  • Редактируйте по своему усмотрению.

Неправильно.

  • Возврат к примеру.
  • Переход к лекциям.