Конспект урока "Неравенства с модулем" 9 класс


Алгебра. 9 класс
Тема: Неравенства с модулем.
Цель: формировать умения решать неравенства с модулем вида │f (x) │< a и │ f (x) │> a.
Ход урока.
1.Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
2. Устные упражнения.
1) Раскрыть модуль
π -3│ │√3 + √5 │ │1- √2 │ │√5 -2 │ │x
2
x
4
+1 │ │x
2
-x+
1
/
4
x
2
+2x+2│
2) Решить уравнения
x
2
-6x-7│=√3-2 │x│=-x
2
-1 │x│=x │x│=-x
2
x-│x│=x
2
│x
2
-1│=1-x
2
│x-2│=│2-x│
3) Решить неравенства
X
2
>0 x
2
≤0 1/x
2
+1>0 x(x
2
+1)>0
3. Объяснение нового материала.
Рассмотрим неравенство │x│<3. Переведем аналитическую модель на геометрический язык:
нам надо найти на координатной прямой такие точки x , которые удовлетворяют условию
ρ (x,0)<3, т.е. удалены от начала отсчета на расстояние меньше, чем 3. На расстояние, равное 3,
удалены точки -3 и 3. А на расстояние меньше 3 точки, которые находятся между данными
точками. Следовательно, решениями неравенства являются все числа из интервала (-3;3), т. е.
все числа, которые больше -3, но меньше 3. Данное неравенство │x│<3 равносильно двойному
неравенству -3<x<3.
Вывод: неравенство │f (x) │< a (a>0) равносильно двойному неравенству a<f(x)<a.
При a<0 неравенство решений не имеет, т. к. модуль – неотрицательное число.
Например, решим неравенство │x-1│<2
-2<x-1<2
x-1>-2
x-1<2
x>-1
x<3
Ответ: (-1; 3).
Рассмотрим неравенство │x│>2. На координатной прямой надо найти такие точки, которые
удовлетворяют условию ρ (x, 0)>2, т. е. удалены от начала отсчета на расстояние больше, чем 2.
На расстоянии, равном 2, от начала отсчета находятся точки -2 и 2. А на расстоянии больше 2
точки, которые расположены левее -2 и правее 2. Следовательно, решения данного неравенства
интервалы (-∞;-2), (2;+∞)
Вывод: неравенство │f (x)│>a (a>0) равносильно совокупности неравенств f (x) <-a
и f (x)>a.
При a<0 неравенство верно при любом x из О. Д. З. f (x).
Например, решить неравенство │5-3x│≥6
5-3x-6 5-3x≥6
-3x-11 -3x≥1
x≥3
2
/
3
x-
1/
3
Ответ: (-∞;-
1/
3
) (3
2/
3
;+∞).
4. Тренировочные упражнения.
Решение неравенств с модулем.
1) │x-1│<1 2) │4x+5│<3 3) │2x+1│≥1
-1<x-1<1 -3<4x+5<3 2x+1≤-1 2x+1≥1
2x-2 2x≥0
x-1>-1 4x+5>-3 x-1 x≥0
x-1<1 4x+5<3 Ответ: (-∞; -1] [ 0; +∞)
x>0 x>-2
x<2 x<-½
Ответ: (0; 2) Ответ: (-2; -½).
4) │5-2x│>1 5) │x
2
-2x│<3 6) │x
2
-x-3│<9
5-2x<-1 5-2x>1 -3<x
2
-2x<3 -9<x
2
-x-3<9
-2x<-6 -2x>-4 x
2
-2x>-3 x
2
-x-3>-9
x>3 x<2
x
2
-2x<3 x
2
-x-3<9
Ответ: (-∞; 2) (3; +∞)
x
2
-2x+3>0 x
2
-x+6>0
(x+1) (x-3)<0 (x-4) (x+3)<0
x-любое x-любое
-1<x<3 -3<x<4
Ответ: (-1; 3). Ответ: (-3; 4)
7) │x
2
-5x│>6
x
2
-5x<-6 x
2
-5x>6
x
2
-5x+6<0 x
2
-5x-6>0
(x-2)(x-3)<0 (x-6)(x+1)>0
+ 2 - 3 + x + -1 - 6 + x
2<x<3 x<-1 x>6
Ответ: (-∞; -1) (2; 3) (6; +∞).
5. Итог урока. Домашнее задание Г. № 6.202 в, г; 6.205 в, г; 6.207 а, в; повт. № 5.122