Конспект урока "Числовые неравенства" 7 класс


Урок по теме «Числовые неравенства»
Цели:
Образовательные: ввести определение понятий « больше» и « меньше»,
числового неравенства, научить применять их к доказательству неравенств;
Развивающие: развивать умение использовать теоретические знания при
решении практических задач, способность анализировать и обобщать
полученные данные; развивать познавательный интерес к математике,
расширять кругозор;
Воспитательные: формировать положительную мотивацию обучения.
Ход урока:
1.Подготовка и мотивация.
Сегодня мы начинаем изучать важную и актуальную тему « Числовые неравенства».
Если немного изменить слова великого китайского педагога Конфуция (жил более
2400 лет тому назад) можно сформулировать задачу нашего урока: «Я слышу
и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю.» Давайте сформулируем вместе
цель урока. (Учащиеся формулируют цель, учитель дополняет).
Изучить числовые неравенства и их определение, и научиться применять их на
практике.
На практике нам часто приходится сравнивать величины. Например, площадь
территории России (17 098 242 км
2
) и площадьтерритории Франции (547 030км
2
) ,
протяженность реки Оки (1500 км)ипротяженностьреки Дон (1870км).
2.Актуализация опорных знаний.
Ребята, давайте вспомним всё, что мы знаем о неравенствах.
Ребята, посмотрите на доску, сравните:
Что такое неравенство?
Неравенство - соотношение между числами (или любыми математическими
выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из
них больше или меньше другого.
Знаки неравенства ( › ; ‹)ввел английский математик Гарриот (1560 – 1621), знаки (≤;
≥ ) ввел французский математик Буге (1698 – 1758), но понятие неравенства, как и
понятие равенства, возникло в глубокой древности. В развитие математической мысли
5
8
и
4
7
3,6748 и 3,675
36,5810 и 36,581
9
20
и 0,45
-5,5 и
4
9
-15 и -23
-115 и -127
без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до
понятия равенства, тождества, уравнения.
-Какие правила использовали для сравнения чисел?
а) из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше;
б) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше;
в) любое отрицательное число меньше положительного;
г) любое положительное число больше нуля;
д) любое отрицательное число меньше нуля;
е) из двух дробей с равными числителями больше та у которой знаменатель меньше.
- Какое правило применяем для сравнения чисел, расположенных на координатной
прямой?
( На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а
меньшее – точкой, лежащей левее.)
Заметим, что в зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной
способ сравнения. Это неудобно. Нам было бы легче иметь универсальныйспособ
сравнения чисел, который охватил бы все случаи.
3. Изучение нового материала.
Расположите в порядке возрастания числа: 8; 0; -3; -1,5.
Какое число самое маленькое? Какое число самое большое?
Какие числа можно подставить вместо a и b?
a b =8
a b =-3
a b =-8
a b =1,5
a b = 0
Обратите внимание, что при вычитании из большего числа меньшего, получается
положительное число; при вычитании из меньшего числа большего, получается
отрицательное число.
Универсальный способ сравнения чисел основан на определении числовых
неравенств: Число a больше числа b, если разность a b положительное число;
число а меньше числа b, если разность a b отрицательное число. Заметим, что если
разность a b = 0, то числа а и b равны.
4. Закрепление нового материала.
Сравните числа а и b, если:
А) а – b = - 0,8 (а меньше b, т.к. разность – отриц.число)
Б) а – b = 0 (а = b)
В) а – b = 5, 903 (а больше b, т.к. разность – полож.число).
2. Рассматриваем рис. 22 на с. 153 ученика и получаем геометрическую
интерпретацию нового определения.
3. Разбираем пример 1 на с. 161 учебника. Можно предложить учащимся составить
другую разность между правой и левой частями неравенства. После преобразования
получится положительное число. Просим учащихся сделать соответствующий вывод.
(a-3)*(a-5)<(a-4)
2
(a-3)*(a-5) - (a-4)
2
=a
2
3a 5a +15 a
2
+8a 16 = - 1 <0 =»
(a-3)*(a-5)<(a-4)
2
VI. Формирование умений и навыков.
Все у п р а ж н е н и я, решаемые на этом уроке, можно разделить на д в е г р
у п п ы:
1) на непосредственное применение определения числового неравенства (сравнение
чисел);
2) на доказательство числовых неравенств пределение верности неравенства при
любом значении, входящей в его запись буквы).
1. № 724, № 725 (устно).
2. № 726. (Три человека у доски)
Р е ш е н и е
При а = 5
3а(а + 6) = 3 · (5) (5 + 6) = 15,
(3а + 6)(а + 4) = (3 ·(5) + 6)(5 + 4) = 9;
значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).
При а = 0
3а (а + 6) = 3 · 0 (0 + 6) = 0,
(3а + 6) (а + 4) = (3 · 0 + 6) (0 + 4) = 24;
значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).
При а = 40
3а (а + 6) = 3 · 40 (40 + 6) = 5520,
(3а + 6) (а + 4) = (3 · 40 + 6) (40 + 4) = 5544;
значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).
Докажем, что 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4) при любом значении а. Составим разность
выражений:
3а(а + 6) (3а + 6)(а + 4) = 3а
2
+ 18а 3а
2
12а 6а 24 = 24.
При любом а рассматриваемая разность отрицательна, значит, 3а(а +
+ 6) < (3а + 6)(а + 4).
3. № 728 (а, б), № 729 (а, г), № 730 (а, в).
Р е ш е н и е
№ 728.
а) 3(а + 1) + а 4(2 + а) = 3а + 3 + а 8 4а = –5 < 0, значит, неравенство верно при
любом значении а.
б) (7p 1)(7p + 1) 49 p
2
= 49p
2
1 49p
2
= 1 < 0, значит, неравенство верно при
любом значении р.
№ 729.
а) 2b
2
6b + 1 2b(b 3) = 2b
2
6b + 1 2b
2
+ 6b = 1 > 0, значит, неравенство верно
при любом значении b.
г) 8y(3y 10) (5y 8)
2
= 24y
2
80y 25y
2
+ 80y 64 = y
2
64 = (y
2
+
+ 64) < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.
Надо обратить внимание учащихся, что если у
2
+ 64 > 0 для любого у, то
противоположное ему по значению выражение –(у
2
+ 64) < 0.
№ 730.
а) 4x(x + 0,25) (2x + 3)(2x 3) = 4x
2
+ x 4x
2
+ 9 = x + 9.
Выражение может быть как положительным, так и отрицательным, а также
равным нулю в зависимости от х, значит, неравенство не верно при любых х.
в) (3x + 8)
2
3x(x + 16) = 9x
2
+ 48x + 64 3x
2
48x = 6x
2
+ 64 > 0, значит,
неравенство верно при любом значении х.
4. № 732 (а, б).
Р е ш е н и е
а) 10а
2
5а + 1 а
2
а = 9а
2
6а + 1 = (3а 1)
2
0, значит, неравенство верно при
любом значении а.
б) 50а
2
15а + 1 а
2
+ а = 49а
2
14а + 1 = (7а 1)
2
0, значит, неравенство верно
при любом значении а.
VII. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я: Ребята, сегодня на уроке мы повторили ранее изученный
материал по неравенствам и узнали много нового о неравенствах.
1) Как сравнить два числа?
2) Ребята, поднимите руку, у кого на уроке возникли трудности?
Сформулируйте правила сравнения положительных чисел, отрицательных,
разного знака.
Сформулируйте правила сравнения обыкновенных дробей, десятичных.
Сформулируйте универсальный способ сравнения чисел. Приведите
геометрическую интерпретацию.
Домашнее задание: № 727, № 728 (в, г), № 729 (б, в), № 730 (б, г), № 745 (а).