Презентация к уроку алгебры 8 класс "Квадратные уравнения"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

учитель Сафронова В. А.

  • учитель Сафронова В. А.
  • Филиал МБОУ Токарёвской СОШ №1 в с Троицкий Росляй

  • ЗНАНИЯ – ВАМ ОЧЕНЬ НУЖНЫ;
  • УМЕНИЕ – ЦЕННЕЙШЕЕ КАЧЕСТВО;
  • ОПЫТ – В ЖИЗНИ НЕОБХОДИМ!

Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся полученные при изучении темы, отработка умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида различными способами, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения.

  • Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся полученные при изучении темы, отработка умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида различными способами, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения.
  • Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать, умения выступать с самостоятельными суждениями и отстаивать их.
  • Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, умение работать в группах, развивать познавательную активность и логическое мышление учащихся, развития интереса к предмету.

  • уравнение вида ах2 + вх +с = 0,
  • где х –переменная,
  • а, в и с некоторые числа,
  • причем а 0.
  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
  • Квадратным уравнением называется

  • Квадратным уравнением называется уравнение вида
  • ax2+ bx + c = 0, а ≠ 0
  • где х ─неизвестное, a,b,c ─заданные числа, а называют старшим коэффициентом, b─вторым коэффициентом, c ─ свободным членом.
  • Неполные квадратные уравнения
  • (если хотя бы один из коэффициентов
  • b = 0 или c = 0)
  • Полные квадратные уравнения
  • приведенные
  • (если а = 1 )
  • х2 + px +q = 0
  • ax2 + bx + c = 0
  • а ≠ 0
  • неприведенные
  • ax2 + c = 0,
  • a≠0, b=0.
  • ax2=0,a≠0,
  • b=0,c=0.
  • ax2+bx=0,
  • a≠0,c=0.

  • ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  • НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  • КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  • а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0
  • а ≠ 0, в = 0, с = 0
  • 2х2+5х-7=0
  • 6х+х2-3=0
  • Х2-8х-7=0
  • 25-10х+х2=0
  • 3х2-2х=0
  • 2х+х2=0
  • 125+5х2=0
  • 49х2-81=0

  • а) 6х2 – х + 4 = 0
  • б) 12х - х2 + 7 = 0
  • в) 8 + 5х2 = 0
  • г) х – 6х2 = 0
  • д) - х + х2 = 15
  • а = 6, в = -1, с = 4;
  • а = -1, в = 12, с = 7;
  • а = 5, в = 0, с = 8;
  • а = -6, в =1, с = 0;
  • а = 1, в =-1, с = -15.
  • Определите коэффициенты
  • квадратного уравнения:

  • РЕШЕНИЕ
  • НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  • в=0
  • ах2+с=0
  • с=0
  • ах2+вх=0
  • в,с=0
  • ах2=0
  • 1.Перенос с в правую часть уравнения.
  • ах2= -с
  • 2.Деление обеих частей уравнения на а.
  • х2= -с/а
  • 3.Если –с/а>0 -два решения:
  • х1 = и х2 = -
  • Если –с/а<0 - нет решений
  • Вынесение х за скобки:
  • х(ах + в) = 0
  • 2. Разбиение уравнения
  • на два равносильных:
  • х=0 и ах + в = 0
  • 3. Два решения:
  • х = 0 и х = -в/а
  • 1.Деление обеих частей уравнения на а.
  • х2 = 0
  • 2.Одно решение: х = 0.

  • Решение неполных квадратных уравнений
  • ax2 + bx + c = 0, а ≠ 0
  • Если b≠0, а с=0,то
  • ax2+bx=0,
  • х·(ах + b)=0,
  • x = 0, ах + b = 0,
  • ах = -b,
  • х = -
  • Если b=0, а с≠0,то
  • ax2+ с = 0,
  • ах2 = -с,
  • х2 = -
  • Если b=0,с = 0,
  • ах2 = 0,
  • х = 0
  • -
  • >
  • 0,то
  • х =±
  • -
  • <0,то
  • корней
  • нет.

  • РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО УРАВНЕНИЯ :
  • 1 вариант:
  • а)
  • б) ( х + 2)2 + ( х -3)2 = 13
  • 2 вариант:
  • а) 2х + х2= 0
  • б) 49х2 – 81 = 0
  • 3 вариант:
  • а) 3х2 – 2х = 0
  • б) 125 + 5х2 = 0

  • Исторические сведения:
  • Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.
  • Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.
  • В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.
  • ________________________________________________
  • Вот задача Бхаскары:
  • Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.
  • Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.
  • А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.
  • Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

  • Решение задачи Бхаскары:
  • Пусть было x обезьянок,
  • тогда на поляне забавлялось – .
  • Составим уравнение:
  • + 12 = х
  • Ответ: х1= 16 , х2= 48 обезьянок.

  • История развития квадратных
  • уравнений:
  • Квадратные уравнения в Багдаде(9 век).
  • Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
  • Квадратные уравнения в Индии.
  • Квадратные уравнения в Европе 13 -17в.в.

  • Квадратные уравнения в Багдаде (9 век):
  • Впервые квадратные уравнения
  • появились в городе Багдаде, их вывел приглашённый математик из Хорезм(Ныне территория Узбекистана) Мухаммед бен-Муса Ал-Хорезми. В отличие от греков, решавших квадратные уравнения геометрическим путем, он мог решить любые квадратные уравнения по общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было геометрическое решение, то метод Ал-Хорезми почти алгебраический.

  • Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:
  • Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: х2 + х = х2 ─ х =
  • Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила, Почти все найденные до сих пор клинописные тексты, приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены, Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

  • Квадратные уравнения в Индии
  • Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году.
  • В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.
  • В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические
  • задачи”.

  • Квадратные уравнения в Европе в 13-17 веках:
  • Формулы решения квадратных уравнений в Европе были
  • Впервые изложены в 1202 году итальянским математиком
  • Леонардо Фибоначчи.
  • Общее правило решения квадратных
  • уравнений, приведенных к единому
  • каноническому виду аx2 + bx + c = 0,было
  • Сформулировано в Европе лишь в 1544
  • Году немецким математиком
  • Михаэлем Штифелем.

  • Виды квадратных уравнений
  • Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных
  • Уравнений (х2 + х = а) умели решать Некоторые виды квадратных уравнений решали древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду
  • aх2 + bx + c = 0, где а ≠ 0,дал индийский ученый Брахмагупта(7век).
  • Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 веке учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

  • Выводы:
  • Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего
  • Египта. Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне
  • (около 2 тыс. лет до н.э.). Некоторые виды квадратных уравнений,
  • сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III век).
  • Правило решения квадратных уравнений дал индийский учёный
  • Брахмагупта (VII век).
  • Общее правило решения квадратных уравнений было
  • Сформулировано немецким математиком М. Штифелем.
  • Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Ф. Виет.

  • СПАСИБО ЗА УРОК!