Интерактивный плакат "Математические функции"


Подписи к слайдам:
Функции

Интерактивный плакат «Функции»

Головина Наталья Николаевна

Учитель математики

МОУ «Бессоновская СОШ

Белгородского района

Белгородской области»

Математические функции

Линейная функция

Преобразование графика функции

Тригонометрические функции

Степенная функция с целым показателем

Задания для проверки

Давайте отдохнем

Линейная функция

1.Линейная функция и её свойства.

Линейной называется функция вида

y=kx+b, где k и b - действительные числа.

Пример:y=2x+3 (здесь k=2, b=3).

Свойства линейной функции:

  • Область определения - множество R действительных чисел.
  • Линейная функция y=kx+b является четной, если k=0, нечетной, если b=0, и ни четной, ни нечетной, если k≠0 и b≠0.
  • Линейная функция y=kx+b возрастает, если k>0, убывает, если k<0, если же k=0 является постоянной.
  • Построение графика линейной функции:

    При построении графика линейных

    функций вида y=kx+b можно построить

    график y=kx, и воспользоваться

    параллельным переносом. Но проще найти,

    используя аналитическое выражение, две

    принадлежащие графику точки и провести

    через них прямую.

Линейная функция

2.Постоянная функция.

Если k=0, то линейная функция является

постоянной, т.к. y=b. Получается, что все точки

графика данной зависимости будут иметь

одинаковую ординату y, которая будет равна b.

Свойства постоянной функции y=b.

  • D(f)= R;
  • E(f)= b;
  • ограничена сверху и снизу на всей области своего существования;
  • не принимает, ни наибольшего, ни наименьшего значения;
  • не периодическая;
  • четная;
  • постоянна на всей области своего существования;
  • пересекает ось ординат в точке (0;b)
  • графиком данной функции является прямая, параллельная оси Ox и пересекающая ось Oy в точке (0;b).

Линейная функция

3.Прямая пропорциональность.

Если b=0, то линейная функция y=kx+b имеет вид

y=kx и называется прямой пропорциональностью; в этом

случае коэффициент k называется коэффициентом

пропорциональности.Пример:y=2x

Свойства прямой пропорциональности y=kx.

  • D(f)= R;
  • E(f)= R;
  • не ограничена ни снизу не сверху;
  • не принимает, ни наибольшего, ни наименьшего значения;
  • не периодическая;
  • нечетная;
  • возрастает на R при k>0 и убывает при k<0;
  • точка (0;0) - единственная точка пересечения с осями координат;
  • графиком данной функции является прямая, проходящая через начало координат.
  • Построение графика прямой пропорциональности:

    При построении графиков линейных зависимостей

    вида y=kx достаточно найти одну точку, принадлежащую

    графику и отличную от нуля, и провести прямую через эту

    точку и начало координат.

Линейная функция

4.Взаимное расположении графиков двух

линейных функций y=k1x+b1 и y=k2x+b2

  • если k1≠k2, b1≠b2, то прямые, служащие графиками данных функций пересекаются;
  • если k1=k2, b1=b2, то прямые совпадают;
  • если k1=k2, b1≠b2, то прямые параллельны;
  • если k1≠k2, b1=b2, то прямые пересекаются в точке, принадлежащей оси Oy.

Степенная функция с целым показателем

Здесь мы рассмотрим степенную функцию с произвольным целым показателем, т.е.

зависимость вида y=xm, где m - целое число.

m=0 ,получаем функцию вида y=1, x≠0 - постоянная функция с проколом в точке (0;1)

m=1, получаем y=x – линейная функция, графиком является прямая проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов

m=2, квадратичная функция y=x2

m=3, кубическая функция y=x3

m=-1, обратная пропорциональность y=1/x

Степенная функция с целым показателем

Квадратичная функция y=x2

Свойства квадратичной функции:

  • D(f)= R;
  • E(f)=(0;+∞);
  • ограничена снизу на всей области своего существования;
  • принимает наименьшее значение в точке (0;0);
  • непериодическая;
  • четная;
  • возрастает на промежутке [0;+∞[ и убывает на промежутке ]-∞;0];
  • пересекает оси Oy и Ox в точке (0;0);
  • графиком является парабола, имеющая вершину в точке (0;0) и ветви которой направлены вверх;

Степенная функция с целым показателем

Кубическая функция y=x3

Свойства кубической функции:

  • D(f)= R;
  • E(f)= R;
  • не ограничена ни снизу, ни сверху на всей области своего существования;
  • не принимает ни наибольших, ни наименьших значений;
  • непериодическая;
  • нечетная;
  • возрастает на R;
  • пересекает оси Oy и Ox в точке (0;0);
  • графиком является кубическая парабола, пересекающая начало координат;

Степенная функция с целым показателем

Обратная пропорциональность y =

Свойства обратной пропорциональности:

  • D(f)= (-∞;0)∪ (0;+∞);
  • E(f)= (-∞;0)∪ (0;+∞);
  • не ограничена ни снизу, ни сверху на всей области своего существования;
  • не принимает ни наибольших, ни наименьших значений;
  • непериодическая;
  • нечетная;
  • убывает на всей области своего существования;
  • не имеет пересечений с осями координат;
  • имеет горизонтальную и вертикальную ассимптоты, которыми являются оси координат;
  • графиком является гипербола;

Тригонометрические функции

Определение тригонометрических функций

Рассмотрим на координатной плоскости окружность

радиуса R = 1с центром O в начале координат.

Координатные оси делят окружность на четыре дуги,

которые называют четвертями. Рассмотрим произвольный

угол . Точка  M(x;y) лежит на единичной окружности,

считаем, что точка  M результат поворота точки A(1;0) на

угол . На оси OX находятся значения cos угла поворота, а

на оси OY, соответственно, находятся значения  sin

углов поворота. На дополнительных осях ctg и

tg  параллельных осям OX и OY, соответственно,

находятся значения  ctg и tg  угла поворота.

Тригонометрические функции определяются следующими равенствами:

  • синус: sin =y, т.е. ордината точки M;
  • косинус: cos =x, т.е. абсцисса точки M;
  • тангенс: tg =x : y, т. е. отношение ординаты к абсциссе точки M;
  • котангенс: ctg =y : x, т. е. отношение абсциссы к ординате точки M.
  • Замечание.  Значение tg  угла поворота не существует для углов 2 + n n Z. Значение ctg  угла поворота не существует для углов n n Z.

y = sin x

  • D(f)= R;
  • E(f)=[-1;1]
  • ограничена сверху и снизу на всей области своего существования;
  • при x=π/2+2πn, n∈Z принимает наибольшее значение y=1, а при x=-π/2+2πn, n∈Z принимает наименьшее значение y=-1;
  • периодическая с основным периодом 2π;
  • нечетная;
  • возрастает на отрезке [0+2πn;π/2+2πn], n∈Z и убывает на отрезке [π/2+2πn;π+2πn], n∈Z;
  • пересекает ось абсцисс в точках (π+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;0);
  • графиком является синусоида.

y = сos x

  • D(f)= R;
  • E(f)=[-1;1]
  • ограничена сверху и снизу на всей области своего существования;
  • при x=0+2πn, n∈Z принимает наибольшее значение y=1, а при x=π+2πn принимает наименьшее значение y=-1;
  • периодическая с основным периодом 2π;
  • четная;
  • возрастает
  • на отрезке[-π+2πn;0+2πn], n∈Z и убывает на отрезке [0+2πn;π+2πn], n∈Z;

  • пересекает ось абсцисс в точках (π/2+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;1);
  • графиком является косинусоида.

y = tg x

  • D(f)= R кроме x=π/2+πk, k∈Z;
  • E(f)= R;
  • функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
  • не принимает ни наибольшего ни наименьшего значения
  • периодическая с основным периодом π;
  • нечетная;
  • возрастает на отрезке [-π/2;+πn;π/2+πn], n∈Z;
  • пересекает ось абсцисс в точках (0+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;0);
  • графиком является тангенсоида.

y = ctg x

  • D(f)= R кроме x=π+πk, k∈Z;
  • E(f)= R;
  • функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
  • не принимает ни наибольшего ни наименьшего значения
  • периодическая с основным периодом π;
  • нечетная;
  • убывает на отрезке [0+πn;π+πn], n∈Z;
  • пересекает ось абсцисс в точках (π/2+πn;0), n∈Z, не имеет пересечений с осью ординат;
  • графиком является котангенсоида.

Преобразование графика функции

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц

y = f(xb)

вправо, если b > 0;

влево, если b < 0.

y = f(x + b)

влево, если b > 0;

вправо, если b < 0.

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц

y = f(x) + m

вверх, если m > 0,

вниз, если m < 0.

Отражение графика

y = f( − x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = − f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Преобразование графика функции

Сжатие и растяжение графика

y = f(kx)

При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,

при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)

При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.

Преобразования графика с модулем

y = | f(x) |

При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,

при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f( | x | )

При x 0 — график остаётся без изменений,

при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Проверка

Здесь вы можете проверить усвоенный материал удобным для вас способом:

  • Ответить на вопросы прямо сейчас пройдя по ссылке, при этом сможете сразу проверить свои ответы.
  • Хотите более сложный уровень, нажмите ОК и выбирайте интересующий вас вопрос.
  • Подключить INTERNET и пройти независимое тестирование.

Проверка

  • Найдите область определения и область значения функции, заданной графически.
  • Найдите область определения функции, заданной аналитически.
  • Установите вид функции по её графику.
  • Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК

  • Определите вид тригонометрической функции по её графику.
  • Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК

  • Установите соответствие между видом функции и его графиком.
  • Постройте график заданной функции.
  • Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК

Назад к видам проверки

Хотите проверить себя через INTERNET

  • http://uztest.ru/plugins/lessons/pazl/moe/tests/fun1/erkennen.html - тест на соответствие формул и графиков;
  • http://uztest.ru/simulator - тренажер на знание различных функций и их свойств;

Назад к видам проверки

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №23

Автор: Лариса Анатольевна Зубкова,

учитель математики и информатики

Рыбинск, 2008

Свойства функций

(тест с проверкой)

Мы должны знать –

мы будем знать!

Д. Гильберт

Задание 1. Установите соответствие

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

проверка

Задание 2.

Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите области определения этих функций

№ рисунка

1

2

3

4

5

6

7

8

D(у)

1) (-; + )

2) (-; - 1]

3) (-; 0]

4) (-; 0)  (0; + )

5) [-2; 4]

6) [0; + )

8) [-2; + )

7) [-4; 4]

9) (-; 3)

1) (-; + )

1) (-; + )

1) (-; + )

1) (-; + )

4) (-; 0)  (0; + )

6) [0; + )

3) (-; 0]

7) [-4; 4]

проверка

Задание 3.

Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите область значений этих функций

Вариант

1 вариант

2 вариант

№ рисунка

1

2

3

4

5

6

7

8

D(у)

1) (-; + )

2) (-; - 1]

3) (-; 0]

4) (-; 0)  (0; + )

5) [-2; 4]

6) [0; + )

8) [-2; + )

7) [-4; 4]

9) (-; 3)

1) (-; + )

8) [-2; + )

9) (-; 3)

2) (-; - 1]

6) [0; + )

4) (-; 0)  (0; + )

6) [0; + )

5) [-2; 4]

проверка

Задание 4. Используя графики функций на рисунках 1 – 9 определите, какие из функций:

1) Ограничены сверху

2) Ограничены снизу

3) Ограничены

4) Не ограничены

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

2)

снизу

ограничена

сверху

не ограничена

снизу

не ограничена

сверху

ограничена

снизу

проверка

Задание 5. По графику функции определите промежутки монотонности функций

Функция возрастает

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Функция убывает

Ответ:

Функция возрастает

Функция убывает

[- 3; - 2]  [2; 3]

[3; 5]

[- 5; - 3]

[- 3; 2]  [3; 4]

проверка

Задание 6. По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций

Унаим = - 2

Унаим = 0

Унаим = 0

Унаиб = 3

Нет Унаиб и Унаим

Нет Унаиб и Унаим

проверка

Задание 6. По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций

Унаиб = - 1

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2,5

Унаиб = 3 ; Унаим = - 3

проверка