Презентация "Описательная статистика"


Подписи к слайдам:
Описательная статистика

Описательная статистика

  • Медиана
  • (2 часа)

  • Не только среднее арифметическое показывает, где на числовой прямой располагаются числа какого-либо набора и где их центр.
  • Другим показателем является медиана. Медианой набора чисел называют такое число, которое разделяет набор на две равные по численности части.
  • (Вместо «медиана» можно было бы сказать «середина».)

  • Пример 1
  • Возьмем какой-нибудь набор различных чисел, например 1, 4, 7, 9, 11.
  • Подберем число m так, чтобы в наборе оказалось поровну чисел, которые
  • меньше и которые больше чем m.
  • На пробу возьмем m=5. В нашем наборе два числа меньше чем 5 (это 1 и 4), и три числа больше чем 5: это 7, 9 и 11. Значит, число 5 не годится.
  • Теперь возьмем m=7. Меньше числа 7 два числа, больше числа 7 тоже два числа. Следовательно, число 7 делит этот набор на две равные по численности части: (1 и 4) и (9 и 11), само оставаясь посредине набора. Число 7 – медиана набора чисел 1,4, 7,9,11.
  • В этом примере набор состоял из 5 чисел, записанных в порядке возрастания. Медианой в этом случае оказывается число, стоящее в точности посередине.

  • Пример 2
  • Рассмотрим набор 1, 3, 6, 11. Найти медиану набора.
  • Числа тоже записаны по возрастанию, но их четыре, поэтому среди них нет числа, стоящего точно посередине.
  • Любое число из интервала (3,6) разделяет наш набор на две равные по численности части (1 и 3) и (6 и 11).
  • Медианой этого набора служит любое число, которое больше 3 и меньше 6. По определению в качестве медианы в таких случаях берут центр срединного интервала.
  • В нашем случае это центр интервала (3,6). Это полусумма его концов
  • Число 4,5 – медиана этого набора.

  • Пример 3(а)
  • Найти медиану набора 12, 2, 11,3, 7, 10, 3.
  • Расположим числа по возрастанию: 2, 3, 3, 7, 10, 11, 12.
  • Будем убирать числа одновременно с обоих концов набора. Получим последовательные наборы:
  • 2, 3, 3, 7, 10, 11, 12
  • 3, 3, 7, 10, 11
  • 3, 7, 10
  • 7
  • Медианой будет число 7.

  • Пример 3 (б)
  • Найти медиану набора 12, 2, 11, 3, 7, 10, 3, 15.
  • Расположим числа по возрастанию: 2, 3, 3, 7, 10, 11, 12, 15.
  • Будем убирать одновременно с обоих концов набора числа. Получим последовательные наборы:
  • 2, 3, 3, 7, 10, 11, 12, 15
  • 3, 3, 7, 10, 11, 12
  • 3, 7, 10, 11
  • 7, 10
  • Медианой может служить любое число, большее либо равное 7 и меньшее либо равное 10, но обычно в качестве медианы берут полусумму чисел 7 и 10.
  • 8,5 – медиана набора.

  • Пример 3 (в)
  • Найти медиану набора 1, 2, 2, 2, 3, 3.
  • Расположим числа по возрастанию: 1, 2, 2, 2, 3, 3
  • Будем убирать одновременно с обоих концов набора. Получим последовательные наборы:
  • 1, 2, 2, 2, 3, 3
  • 2, 2, 2, 3
  • 2, 2
  • 2 – медиана набора.

  • Определение 1. Медианой набора различных чисел называют такое число (скажем m), которое обладает следующим свойством: количество чисел набора, меньших либо равных m, равно количеству чисел набора, больших либо равных m.
  • Определение 2. Медианой набора n чисел (среди которых могут быть совпадающие), называется
  • число, стоящее посередине (на месте с номером [n/2]+1) в упорядоченном по возрастанию ряду этих чисел, если n нечетно,
  • полусумма чисел, стоящих на средних местах (с номерами n/2 и n/2+1) в упорядоченном наборе этих чисел, если n четно.

  • Пример 4
  • Производство пшеницы в России в 1995-2001 гг. млн.тонн
  • год
  • 1995
  • 1996
  • 1997
  • 1998
  • 1999
  • 2000
  • 2001
  • производство
  • 30,1
  • 34,9
  • 44,3
  • 27,0
  • 31,0
  • 34,5
  • 47,0
  • Средний урожай равен
  • Найдем медиану:
  • 27,0; 30,1; 31,0; 34,5; 34,9; 44,3; 47,0
  • 30,1; 31,0; 34,5; 34,9; 44,3;
  • 31,0; 34,5; 34,9;
  • 34,5 млн. тонн - медиана

  • Пример 5
  • В России в 2002 г. было 13 городов с числом жителей более 1 млн. человек. Данные о населении этих городов в тысячах человек за разные годы приведены в таблице 4.
  • Город
  • Население, тыс.чел.
  • 1979
  • 1989
  • 2002
  • 2006
  • Волгоград
  • 926
  • 999
  • 1013
  • 1025
  • Екатеринбург
  • 1210
  • 1296
  • 1293
  • 1308
  • Казань
  • 989
  • 1085
  • 1105
  • 1113
  • Москва
  • 8057
  • 8878
  • 10358
  • 10425
  • Ниж.-Новгород
  • 1342
  • 1400
  • 1311
  • 1284
  • Новосибирск
  • 1309
  • 1420
  • 1426
  • 1397
  • Омск
  • 1016
  • 1149
  • 1134
  • 1139
  • Пермь
  • 989
  • 1041
  • 1000
  • 993
  • Ростов-на-Дону
  • 925
  • 1008
  • 1070
  • 1055
  • Самара
  • 1192
  • 1222
  • 1158
  • 1143
  • С.-Петербург
  • 4569
  • 4989
  • 4669
  • 4581
  • Уфа
  • 977
  • 1080
  • 1042
  • 1030
  • Челябинск
  • 1030
  • 1107
  • 1078
  • 1093

  • Пример 5 (продолжение)
  • 1. Найти среднее значение численности жителей этих городов в 2002 г.
  • Заметим, что нет в таблице города население которого было бы близко к среднему значению. Значит среднее арифметическое не дает представление о населении «среднего», «типичного» города.
  • Лучшее представление о населении «среднего», «типичного» города-миллионера дает медиана.
  • 2. Упорядочим числа за 2002 год и найдем медиану:
  • Медиана равна 1134 тыс. человек. Это население г.Омска.

Упражнения

  • №1 Вычислите медиану и среднее арифметическое чисел, сравните медиану и среднее значение:
  • 1, 3, 5, 7, 9;
  • 1, 3, 5, 7, 14;
  • 1, 3, 5, 7, 9, 11;
  • 1, 3, 5, 7, 9, 16.
  • №2 Пользуясь таблицей 4, укажите:
  • Самый большой город России по числу жителей в 2002 г.;
  • Второй по населению город в России в 2002 г.;
  • Третий и четвертый по числу жителей города в России в 2002г.

№3 Отметьте числа и их медианы на числовой оси:

  • №3 Отметьте числа и их медианы на числовой оси:
  • 8, 11, 3;
  • 7, 4, 8, 1, 5;
  • 10, 3, 9, 8, 4, 5, 7.
  • №4 Отметьте числа и их медианы на числовой оси:
  • 9, 11, 3, 17;
  • 7, 4, 8, 1, 5, 6;
  • 11, 3, 9, 8, 13, 4, 5, 7.
  • №5 Найдите медиану следующих наборов чисел:
  • 3, 4, 11, 17, 21;
  • 17, 18, 19, 25, 28;
  • 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50.

№6 Найдите медиану следующих наборов чисел:

  • №6 Найдите медиану следующих наборов чисел:
  • 2, 4, 8, 9;
  • 1, 3, 5, 7, 8, 9;
  • 10, 11, 11, 12, 14, 17, 18, 22.
  • №7 Пользуясь таблицей 4, ответьте на вопросы.
  • Насколько изменилось среднее число жителей крупнейших городов России в 2006 г. по сравнению с 2002 г.? Можно ли считать, что их население в среднем возросло за этот период?
  • Насколько изменилось среднее число жителей крупнейших городов России в 2006 г. по сравнению с 1989 г.? Можно ли считать, что их население в среднем возросло за этот период?
  • Найдите медиану числа жителей городов в 1989 г. Сравните ее с медианой, вычисленной для 2002 г. (1134 тыс. человек).

№8 Рассмотрите данные о числе жителей крупнейших городов России (таблица 4), исключив из них Москву и Санкт-Петербург, как города, имеющие федеральный статус.

  • №8 Рассмотрите данные о числе жителей крупнейших городов России (таблица 4), исключив из них Москву и Санкт-Петербург, как города, имеющие федеральный статус.
  • Вычислите среднее значение числа жителей для этих городов в 2006 г.
  • Вычислите медиану числа жителей для этих городов в 2006 г.
  • Сильно ли отличаются медиана и среднее значение для этих городов?
  • №9 Рассмотрите данные о числе жителей крупнейших городов России в 1989 г. (таблица 4), исключив из них Москву и Санкт-Петербург.
  • Найдите среднее число жителей.
  • Найдите медиану числа жителей.
  • Сравните среднее значение и медиану числа жителей в 1989 г. с этими же характеристиками в 2006 г.

№10 Выпишите из таблицы 4 города, число жителей которых превышало 1 млн. человек в 1979 г. Найдите медиану числа жителей этих городов:

  • №10 Выпишите из таблицы 4 города, число жителей которых превышало 1 млн. человек в 1979 г. Найдите медиану числа жителей этих городов:
  • а) в 1979 г.; в) в 1989 г.; г) в 2002 г.; д) в 2006 г.
  • №11 В таблице 5 представлена урожайность зерновых культур в России.
  • Таблица 5. Урожайность зерновых культур а России в 1992-2001 гг.
  • Год
  • 1992
  • 1993
  • 1994
  • 1995
  • 1996
  • 1997
  • 1998
  • 1999
  • 2000
  • 2001
  • ц/га
  • 18,0
  • 17,1
  • 15,3
  • 13,1
  • 14,9
  • 17,8
  • 12,9
  • 14,4
  • 15,6
  • 19,4
  • По данным таблицы 5 вычислите медиану урожайности и среднюю урожайность зерновых культур в России за период:
  • а) 1992-2001 гг. б) 1992-1996 гг. в) 1997-2001 гг.
  • Сравните медиану и среднее. Насколько они отличаются друг от друга?