Программа по алгебре для 8 класса "Замечательные уравнения и неравенства"


ПРОГРАММА
«Замечательные уравнения
и неравенства»
(Алгебра, 8 класс)
Составитель: Назарова Галина Алексеевна
Учитель математики ГБОУ Гимназии №1797 «Богородская»
Г. Москва
.
Замечательные уравнения и неравенства.
Составитель программы: Назарова Г.А., учитель математики
ГОУ Гимназии №1797, г.Москва
ПРОГРАММА КУРСА
Пояснительная записка
Курс для подготовки учащихся 9-х классов посвящен ключевым темам алгебры
уравнениям и неравенствам. Программа состоит из 2-ух частей: уравнения и
неравенства.
1 часть: Её цель создать у учащихся целостное представление о классе
уравнений и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся.
Программа курса 1 части своим содержанием сможет привлечь учащихся,
интересующихся математикой, которым захочется глубже и основательнее
ознакомиться с основными методами и идеями решения уравнений.
Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного
содержания. Вместе с тем они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому
данный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших
математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой,
поможет учащимся оценить свои возможности по математике, даст им шанс
познакомиться с интересными, нестандартными уравнениями и задачами, а значит,
будет способствовать развитию логического мышления учащихся, поможет более
осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.
Программа курса дает широкие возможности повторения и обобщения
материала по алгебре. В ней предлагается большое количество уравнений и
сложных задач, многие из которых понадобятся как в старших классах, так и при
подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ, а также при учебе в
высшей школе. Особый интерес курс должен вызвать у учащихся, выбравших
естественно-математический и физико-математический профили.
Задания, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто непросты в решении,
что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся. Вместе с тем содержание
курса позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно-
познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться
на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и
интересные всем учащимся. Таким образом, программа применима для различных
групп школьников.
Предлагаемый курс имеет практическую направленность. Он поможет учителю
показать своим ученикам как красоту и совершенство, так и сложность и
изощренность математических методов, порожденных алгеброй.
2 часть: Предлагаемый курс предусматривает намеченные, но совершенно не
проработанные в основном курсе школьной математике, вопросы. Он дополняет
базовую программу по математике, позволяя учащимся пройти путь от способов
доказательств несложных числовых неравенств, встречающихся на вступительных
экзаменах в вузы до обоснования «замечательных» неравенств Коши
Буняковского, Чебышева и др.
Навыки в использовании этих неравенств совершенно необходимы всякому
ученику, желающему успешно подготовиться к различного рода экзаменам, к
дальнейшему обучению в высшей школе математического профиля. Неравенства
играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики,
без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика.
Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение,
способствует развитию логического мышления учащихся, использует
межпредметные связи.
Материал предлагаемого курса даст возможность показать учащимся как
красоту и совершенство, так и сложность и изощренность математических методов,
порожденных не только алгеброй и математическим анализом, но и геометрией, и
даже физикой.
Материал курса делится на два блока. В первом блоке излагаются наиболее
распространенные приемы сравнения действительных чисел и установления
истинности неравенств с переменной, а второй блок дает учащимся представление о
применении неравенств при решении оптимизационных задач. Работа учащихся по
этой программе предполагает их выход либо на первый уровень ознакомление с
основными методами и приемами получения и применения замечательных
неравенств, либо на второй уровень, предполагающий усиление самостоятельной
работы (в том числе и с дополнительными источниками) под руководством учителя,
решение более сложных задач. Таким образом, материал может применяться для
различных групп учащихся.
Программа рассчитана на 102 часа, в ней дано примерное распределение часов
по темам.
Форма проведения занятий должна отличаться от урочной. Такие занятия, как
лекция и семинар, должны применяться, но на первое место необходимо вывести
такие формы, как выступления с докладами частности с отчетными докладами по
результатам выполнения индивидуального домашнего задания) или содокладами,
дополняющими лекционные выступления учителя или ученика. Ученикам
необходимо больше предоставлять время для самостоятельной работы с учебным
материалом и со специальной литературой для анализа предложенных решений.
Рекомендуется проводить уроки-семинары, уроки-практикумы.
Курс может завершаться написанием итоговой контрольной работы или
зачетом.
Цель курса: 1ч. расширить знания и умения учащихся по решению уравнений,
систем уравнений и задач с помощью уравнений; сформировать целостную систему
математических знаний и базу для продолжения математического образования в
старших классах.
2 ч. изучение избранных классов неравенств с переменными и научное
обоснование ( в той степени строгости, которая соответствует уровню школьной
математики) методов их получения, а так же выход на приложения изученного
теоретического материала.
Задачи курса: 1 ч.
расширить сферу математических знаний учащихся;
расширить представления учащихся об алгебраических уравнениях;
обобщить основные методы решения уравнений различных видов, а также
систем уравнений;
дать учащимся представление об уравнениях с модулем, с параметром;
познакомить учащихся с основными методами решения уравнений с
модулем, с параметром;
рассмотреть основные типы и методы решения задач;
развивать логическое и творческое мышление учащихся;
развивать навыки организации умственного труда и самообразования.
2 ч. - рассмотреть примеры на установление истинности числовых неравенств,
встречающихся на вступительных экзаменах в вузы;
- познакомить с основными методами решения задач на установление
истинности неравенств с переменными;
- рассмотреть метод математической индукции и его применение к
доказательству неравенств;
- рассмотреть неравенство Коши для произвольного числа переменных и
неравенство Коши – Буняковского и их применение к решению задач;
- дать представление о математике как общекультурной ценности на примерах
применения неравенства в математической статистике, экономике, задач на
оптимизацию;
- развивать навыки организации умственного труда и самообразования.
Требования к уровню подготовки учащихся.
1 часть:
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
теорему Безу и следствия из нее;
основные методы решения уравнений: замена переменной и разложение на
множители;
общую схему решения дробно-рациональных уравнений;
схемы раскрытия модулей в уравнениях;
различные типы уравнений с параметрами и основные методы их решения.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
выполнять деление многочлена на многочлен;
находить корни уравнения с целыми коэффициентами;
находить корни уравнения с использованием свойств монотонности и
ограниченности функций;
находить корни уравнения с использованием метода замены переменной и
метода разложения на множители;
решать уравнения с модулями с помощью раскрытия модулей и метода
числовых промежутков;
решать уравнения с параметром аналитическим и графическим способами;
решать задачи с помощью составления уравнений.
2 часть: В результате изучения курса учащиеся должны знать:
- понятие «больше», «меньше», «не больше», «не меньше» для
действительных чисел и их свойства;
- основные методы сравнения двух чисел: «по определению», сравнение их
отношений с единицей, сравнение их степеней, сравнение их с промежуточным
числом, метод использования «замечательных неравенств»;
- основные методы установления истинности неравенств с переменными:
метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод использования
тождеств, метод подстановки (введение новых переменных), метод оценивания
(усиление и ослабления);
- схему применения метода математической индукции;
- неравенство Коши для произвольного числа переменных;
- соотношение Коши- Буняковского;
-средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое
двух положительных чисел, их геометрическое интерпретация.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- применять основные методы сравнения двух чисел;
-применять основные способы доказательства истинности неравенств с
переменными;
- применять метод математической индукции для доказательства неравенств;
- применять неравенство Коши - Буняковского при n = 2 и n = 3;
-применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и
наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию.
Тематическое планирование.
п/п
Тема
Кол-во
часов
Формы учебной
деятельности
1 часть
1.
Уравнения высших степеней:
а) Основные методы решения уравнений
замена переменной и разложение на
множители.
б) Возвратные, симметрические и
кососимметрические уравнения.
6 ч
Практические задания,
направленные на усвоение
учащимися алгоритмов
решения уравнений данного
типа. Работа в парах.
2.
Уравнения с целыми коэффициентами.
2ч
Отчетные доклады по
результатам «поисковой»
работы на страницах книг и
сайтов в Интернете.
3.
Уравнения, содержащие переменную под
знаком модуля.
Индивидуальная работа:
решение уравнений.
4.
Графическое решение уравнений.
3ч
Подготовка докладов по
результатам выполнения
индивидуального домашнего
задания.
5.
Уравнения с параметром.
5ч
Практические задания,
направленные на усвоение
учащимися аналитического и
графического способов
решения уравнений. Работа в
парах.
6.
Нестандартные уравнения и методы их
решения.
8ч
Практические задания,
направленные на
совершенствование навыков
решения уравнений.
7.
Применение уравнений. Текстовые задачи.
16ч
Семинарское занятие. Работа
в парах, индивидуальная
работа.
8.
Итоговый контроль по курсу.
2 ч
Контрольная работа (зачет).
Всего:
48ч
2 часть
9.
Числовые неравенства и их свойства.
Основные методы установления
истинности числовых неравенств.
6 ч
Самостоятельная работа с
литературой, работа в
группах, сообщения о
выполнении инд. заданий.
10.
Неравенства с переменными. Основные
методы решения задач на установление
истинности неравенств с переменными.
Частные случаи неравенства Коши.
6 ч
Лекция учителя, работа в
парах (группах) по отработке
основных методов,
сообщения в защиту одного
из вариантов обоснования
конкретного неравенства с
переменной, доклады по
работе над рефератами или
инд. домашними заданиями.
11.
Метод математической индукции и его
применение к доказательству неравенств.
Неравенство Коши для произвольного
числа переменных.
8 ч
Анализ математического
текста применением
мультимедиа), разбор и
анализ решений, дискуссия
«Какое из доказательств
лучше и почему?»
(различные доказательства
неравенства Коши).
12.
Неравенство Коши – Буняковского и его
применение к решению задач.
8 ч
Лекция учителя, разбор и
анализ решений, доклады о
применении неравенства
Коши - Буняковского при
решении уравнений; при
нахождении наибольшего и
наименьшего
значений функций; при
доказательстве неравенств.
13.
Средние арифметическое, геометрическое,
гармоническое и квадратическое и
соотношения между ними
8 ч
Самостоятельная работа с
литературой, работа в
группах, дискуссия по теме:
«Сохранится ли соотношение
между средними величинами,
если входящие в них
переменные будут принимать
произвольные
действительные значения?»
14.
Применение неравенств.
14 ч
Поисковая деятельность,
сообщения о решении задач
на оптимизацию, работа над
рефератами.
15.
Итоговый контроль по курсу
2 ч
По выбору учителя.
2 ч
всего
54 ч
Итого
102 ч
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1. Уравнения высших степеней.
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Уравнения
высших степеней. Понижение степеней заменой и разложением. Симметрические,
кососимметрические и возвратные уравнения.
Тема 2. Уравнения с целыми коэффициентами.
Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу:
теорема о делимости на двучлен и о числе корней многочленов.
Тема 3. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы. Метод
промежутков при раскрытии модулей.
Тема 4. Графическое решение уравнений.
Графический метод решения уравнений.
Тема 5. Уравнения с параметром.
Уравнения с параметром: линейные, квадратные, дробно-рациональные.
Параметр в уравнениях с модулем. Аналитический и графический способы решения
уравнений.
Тема 6. Нестандартные способы решения уравнений.
Использование монотонности функции при решении уравнений. Использование
ограниченности функции при решении уравнений. Метод оценки.
Тема 7. Применение уравнений. Текстовые задачи.
Решение различных задач (на движение, на совместную работу, на смеси,
сплавы и разбавления) с помощью составления уравнений.
Тема 8. Итоговый контроль по курсу.
Тема 9. Числовые неравенства и их свойства. Основные методы установления
истинности числовых неравенств.
Понятие положительного, отрицательного числа, число нуль. Основные
законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и
произведения положительных чисел. Понятие «больше», его геометрическая
интерпретация. Понятие «меньше», « не больше» и «не меньше» для
действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства. Сравнение двух чисел
по «определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их
степеней, путем сравнения их с промежуточными числами, метод введения
вспомогательной функции.
Тема 10. Неравенства с переменными. Основные методы решения задач на
установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенство
Коши.
Неравенства с переменными. Неравенство следствие, равносильное
неравенство. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод
анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод подстановки, метод
оценивания ( усиление или ослабление), метод использования тождества.
Тема 11. Метод математической индукции и его применение к доказательству
неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.
Индукция вообще и в математике в частности. Схема применения метода
математической индукции. Некоторые модификации метода математической
индукции, примеры. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.
Тема 12. Неравенство Коши - Буняковского и его применение к решению задач.
Теорема, устанавливающая соотношение Коши Буняковского,
геометрическая интерпретация этого неравенства. Векторный вариант его записи
для n = 2.