Презентация "Квадратные уравнения" 9 класс


Подписи к слайдам:
Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Подготовили: Акаева Катя, Алексеева Надя, Башенхаева Селена, Кузьмина Настя.

9а класс МОУ Усть-Ордынская сош №1 2014 г

Учитель Гаврилова М.А.

Содержание

  • Диофантовы уравнения
  • В Вавилоне
  • В древней Азии
  • В Древней Индии
  • Алгебраическое квадратное уравнение общего вида
  • Решение уравнения по формуле
  • При четном b
  • Теорема Виета
  • Решение неполных квадратных уравнений
  • Метод разложения на множители
  • Метод переброски

Диофантовы уравнения

Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений 

В Вавилоне

Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второой степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах  встречаются, кроме неполных и полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вот как решал это уравнение среднеазиатский ученый ал-Хорезми:

Он писал : "Правило таково:

раздвои число корней, х=2х·5

получите в этой задаче пять, 5

умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5·5=25

прибавь это к тридцати девяти, 25+39

будет шестьдесят четыре, 64

извлеки из этого корень, будет восемь, 8

и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8-5

останется 3

это будет корень квадрата , который ты искал."

А второй корень ? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.

 

В Древней Индии

Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическо трактате «Ариа-бхатиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом  Ариабхаттой. Другой индийский ученый Брахмагупта(VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида ах2+ bх= с.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Алгебраическое квадратное уравнение общего вида

  • +
  • x — свободная переменная, a, b, c — коэффициенты, причём a 0.
  • Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:
  • a называют первым или старшим коэффициентом,

    b называют вторым или коэффициентом при x,

    c называют свободным членом.

  • Корень — это значение переменной x, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство.
  • Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице.
  • Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.
  • Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего равен нулю.
  •  

Решение по формуле

  • +
  • С помощью D= -4ac;
  • D>0, то
  • D=0,то
  • D<0, то
  •  

Пример решения по формуле

  • Пример 1) 2+5x-3=0. a=2; b=5; c=-3.
  • D=— 4ac=-4∙2∙(-3)=25+24=49=>0; 2 действительных корня.

  • Пример 2) -12x+36=0. a=1; b=(-12); c=36.
  • D=— 4ac=-4*1*36=0 =>1 действительный корень

    x===6

  • Пример 3) -25x+23 =0 a=7; b=(-25); c=23 .
  • D=— 4ac=-4*7*23=625-644=-19 D<0 =>

  •  

При четном b

  • Для уравнений вида + = 0, то есть при чётном b, где k=b
  • Воспользуемся формулой:
  • D=-ac; D>0, то

  • D=0,то x=-
  • D<0, то .
  •  

Пример 1) 5-14x-3=0.

Решение. a=5; b= -14 (четное число); c=-3.

 

Пример 2) 9-30x+25=0.

Решение. a=9; b=-30 (четное число); c=25.

 

Теорема Виета

  • + = 0 - приведенное уравнение (a=1)
  • Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
  •  

p, со знаком взяв обратным,

На два мы его разделим,

И от корня аккуратно

Знаком «минус-плюс» отделим.

А под корнем очень кстати

Половина p в квадрате

Минус q — и вот решенья,

То есть корни уравненья.

«Минус» напишем сначала,

Рядом с ним p пополам,

«Плюс-минус» знак радикала,

С детства знакомого нам.

Ну, а под корнем, приятель,

Сводится всё к пустяку:

p пополам и в квадрате

Минус прекрасное q.

Мнемонические правила:

Решение с помощью теоремы Виета

  • Пример 1) +6x+8=0
  • второй коэффициент р=6 и свободный член q=8.

  • += –р=-6
  • *= q=8

  • =-4
  • =-2

  • На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q.
  • Ответ: -4; -2.
  •  

Решение неполных квадратных уравнений

  • Квадратное уравнение может быть неполным. В этом случае b или c (или и то, и другое) равны нулю. Например:

Обычно неполные квадратные уравнения решают 2 способами:

1)Вынесением X за скобки

2)Перенесением числа С в правую часть

Рассмотрим пример

Метод «переброски»

  • Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:
  • Дано: a+bx+c=0
  • 1)Перебрасываем старший коэффициент к свободному члену +bx+ac=0
  • 2) Далее уравнение решают устно описанным выше способом
  • 3) Затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений :a; :a
  •  

Решения уравнений методом «переброски»

Пример: 5-3x-2=0

Решение:

1) Перебросим старший коэффициент 5 к свободному члену -2

-3x-10=0

2) Решим по теореме Виета

=-2; =5

3)Найдем корни уравнений

=-2:5=-0,4; =5:5=1

Ответ: =-0,4; =1

  •  

Метод разложения на линейные множители

  • привести квадратное уравнение общего вида к виду:
  • А(х)·В(х)=0,
  • где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
  • Способы:
  • Вынесение общего множителя за скобки;
  • Использование формул сокращенного умножения;
  • Способ группировки

Метод разложения на линейные множители

Вынесение общего множителя за скобки

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один корень, то его можно разложить на множители. Для этого следует воспользоваться формулой

если m и n – корни квадратного уравнения abx + = 0, то ax2 + bx + c = a(x – m)(x – n)

Из данного утверждения следует алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители:

найти корни квадратного трехчлена m и n, т.е. решить уравнение ax2 + bx + c = 0;

записать выражение a(x – m)(x – n)

Решать уравнение можно любым способом (для этого чаще всего используют формулу корней).

Например, нужно разложить на множители квадратный трехчлен x2 + 5x – 6. Решая уравнение x2 + 5x – 6 = 0, получим корни m = 1 и n = – 6. Следовательно,

x2 + 5x – 6 = (х – 1)(х + 6).

  •  

Задание для класса

1)Решить методом переброски

10+19x-2=0

2)Решить методом разложения на линейные множители

+6x+8=0

3)Решите с помощью теоремы Виета:

+3x-40=0

  •  

Спасибо за внимание!