Ключ для определения количества нулей в конце произведения скачать


Ключ для определения количества нулей в конце произведения

1
Методическая разработка по теме
«Ключ для определения количества нулей в конце произведения»
Автор: Иванова Валентина Ивановна,
учитель математики
МБОУ «Тренькасинская СОШ»,
Чебоксарского района Чувашской Республики
Введение. В современном мире очень многие родители озадачены развитием творческих
способностей своих детей наряду с развитием умственных способностей. Объяснить это
достаточно просто - в ходе творческого процесса происходит осуществление интересного и
плодотворного досуга, развивается стремление к созданию чего-либо. Мы, учителя, готовим
детей к различным олимпиадам по математике и часто встречаем задачи на определение
количества нулей в конце произведения. Например, задача такого типа: «Сколькими нулями
оканчивается произведение от 1 до 50 включительно?». Ребята пытаются найти произведение
этих чисел, но до конца дойти не всегда реально. И я решила показать рациональный способ
решения таких задач.
Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к
теме «Определение количества нулей в конце произведения последовательных натуральных
чисел», а с другой стороны, её недостаточной разработанностью.
Цель: Научить находить количество нулей в конце произведения последовательных
натуральных чисел.
Задачи: - вспомнить свойства чисел;
- рассмотреть примеры для определения количества нулей в конце произведения;
- уметь раскладывать числа, кратных 5, на множители;
- найти «ключ» к решению таких задач.
Оглавление.
1. Введение…………………………………………………………………………………………...1
2. По страницам толковых словарей. Свойства чисел и факториал……………………………..2
3. Разложение чисел кратных 5 на множители. ……………………………...………………..…..2
4. Алгоритм для определения количества нулей в конце любого большого числа…………. 2-3
5. Составление и решение задач…………………………………………………………….…....3-4
I. Основная часть.
По страницам толковых словарей.
Свойства чисел и факториал.
Во-первых, количество нулей в произведении зависит от количества 10 среди множителей
произведения.
Во-вторых, при перемножении двух круглых чисел, т.е. тех, которые оканчиваются на нули,
невозможно получить некруглое число.
В-третьих, в произведении последовательных натуральных чисел половина четных чисел,
половина – нечетных.
В-четвертых, можно умножить два числа, не заканчивающихся на нуль, и получить
произведение, имеющее в конце один или несколько нулей.
Например, 2 ∙ 5=10; 5∙8 =40; 6∙15=90; 8∙125=1000.
2
Я заметила, что один множитель четное число, а другой – делится на 5. Сомножители 2 и 5
при их перемножении дают десятку. Если умножить четное число на 5, то в полученном
произведении так же последняя цифра ∙равна нулю.
Факториалом натурального числа называют произведение всех натуральных чисел от 1 до
самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком «!».
Примеры: 3! = 1∙2∙3; 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6. Таблица факториалов.
n
0
1
2
3
4
5
6
n!
1
1
2
6
24
120
720
Разложение чисел кратных 5 на множители.
Разложим числа, которые делятся на 5, на множители и посчитаем, сколько раз встречается 5 в
произведении этих чисел.
Разложение на простые множители
Количество пятерок
5 ∙ 5
2
5 ∙ 5 ∙ 2
2
5 ∙ 5 ∙ 3
2
5 ∙ 5 ∙ 4
2
5 ∙ 5 ∙ 5
3
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 2
3
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 3
3
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 4
3
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5
4
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5∙ 2
4
Из таблицы видно, что в числах, кратных 25 пятерка встречается по два раза, а в числах
кратных 125 – по три, а в числах кратных 625 – четыре раза. Эти знания нам пригодятся при
решении более сложных задач.
Рассмотрим пример. Определить количество нулей в произведении от 1 до 25.
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12∙13∙14∙15 16∙17∙18∙19∙20∙21∙22∙23∙24∙25
Для ответа на вопрос задачи не обязательно находить результат умножения. Нужно
определить число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для этого
разложим каждое число от 2 до 25 на простые множители и запишем произведение всех
получившихся множителей. Нуль на конце произведения получается, когда умножаются двойка
и пятерка. Составим из них пары (2;5) и перемножим их. Но двоек в получившемся
произведении больше пятерок, так как множитель 2 имеет каждое второе число, а множитель 5
только каждое пятое. Для каждой пятерки найдется пара. Пар всего будет 6, так как 25 дает
две пятерки. Значит, всего получится 6 нулей.
Алгоритм для определения количества нулей в конце любого большого числа
Итак, для определения количества нулей в конце любого большого числа можно поступить
так:
1. Выделить сомножители 2 и 5.
2. Составить из них пары (2; 5) и перемножить их.
Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце произведения.
Если количество пар (2;5) зависит от количества пятерок, то достаточно посчитать только
количество пятерок в разложении. Итак, количество нулей в конце определяется только
степенью числа 5 в разложении на простые множители
Такой способ решения мне нравится больше. Он короче и оригинальнее.
3
II. Практическая часть.
Составление и решение задач.
Пример 1. Определить количество нулей в произведении от 1 до 40, т. е. 40!
40! = 1∙2∙3∙4∙ …………∙38∙39∙40
В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5.
Поэтому вопрос можно сформулировать так: сколько раз 40! можно разделить без остатка на 5?
Делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. В семи числах 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40 пятерка
встречается 1 раз, а 25 дает 2 множителя, равных 5 (5∙5). Таким образом, в произведении от 1
до 40 7+2=9 пятерок, т.е. 9 нулей
Пример 2.
Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 17 до 40?
Решение. 20= 4∙5; 25=5∙5; 30=5∙6; 35=5∙7; 40=5∙8. Всего 6 нулей.
Пример 3. Определить количество нулей в произведении от 1 до 100.
Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на нуль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей.
Следование только этому правилу иногда ведет к ошибке, что в конце факториала 100 стоят
одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным.
От 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100. Из них 25 дает 2
множителя, равные 5 (25 = 5∙5), есть еще три числа, в состав которых входит 25. Это: 50, 75 и
100. В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. Значит, мы получим 24
пары. Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.
Можно рассуждать таким образом.
Делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. От 1 до 100
имеется 10 чисел, которые оканчиваются на 5 и 9 чисел, оканчивающиеся на 0 и одно число
100, которое оканчивается двумя нулями. Итого: 10+9+2=21. Но 25, 50 и 75 делятся на 25,
значит, они дают еще три пары из чисел 2 и 5. Итого мы получим 21+3=24 пары, т.е. 24 нуля.
Я попробовала усложнить задачу. Как же быть, если большое количество множителей?
Например, найти количество нулей в конце произведении от 1 до 2018.
Сначала находим количество чисел, кратных 5 от 1 до 100. Таких чисел встречается 20. Но
среди этих чисел числа 25, 50, 75, 100 делятся еще на 25, поэтому они дают по две пятерки. В
числе 2018 всего сотен 20. Значит, чисел, кратных 5 всего 400 (20∙20). Числа 2005, 2010, 2015
делятся на 5. Они дают еще три пятерки. Затем находим числа, которые кратны 25.
Кратных 25 всего 80. От 1 до 100 их 4. Тогда 4∙20=80.
Перечислим числа, которые кратны 125: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 1000, 1125, 1250,
1375, 1500, 1625, 1750, 1875, 2000. Всего таких чисел 16. Они дают по три пятерки.
Три числа кратных 625: 625, 1250, 1875. Итак, всего пятерок 400+3+80+16+3=502.
Следовательно, 502 нуля в конце произведения от 1 до 2018.
Заключение. Я нашла оптимальный, оригинальный способ решения. Данная работа
предназначена для расширения кругозора обучающихся, она способствует развитию
познавательного интереса к математике. Данный материал может быть использован во
внеклассных мероприятиях по математике. Этот способ позволяет решать задачи такого типа
быстрее, проще, легче.